Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий:
. (2.14)
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой ( ), сезонной ( ) и случайной ( ) компонент.
Общий вид мультипликативной модели выглядит так:
. (2.15)
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой ( ), сезонной ( ) и случайной ( ) компонент.
Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2) Расчет значений сезонной компоненты .
3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных ( ) в аддитивной или ( ) в мультипликативной модели.
4) Аналитическое выравнивание уровней ( ) или ( ) и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.
5) Расчет полученных по модели значений ( ) или ( ).
6) Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Методику построения аддитивной модели рассмотрим в данном разделе методического пособия.
Пример. Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме правонарушений на таможне за четыре года, представленным в табл. 2.1.
Как видно из табл. 2.1, данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 2.2).
Таблица 2.1
Год
Квартал
Количество возбужденных дел,
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 2.2). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 2.2).
Таблица 2.2
№ квартала,
Количество правонарушений,
Итого за четыре квартала
Скользящая средняя за четыре квартала
Центрированная скользящая средняя
Оценка сезонной компоненты
–
–
–
–
657,5
–
–
655,25
213,75
665,5
349,5
708,75
693,75
-336,75
709,375
-238,375
718,25
714,125
277,875
689,25
703,75
316,25
689,25
689,25
-299,25
660,5
674,875
-319,875
678,25
669,375
322,625
690,625
214,375
-233
690,5
687,75
-233,75
–
–
–
–
–
–
–
–
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 2.2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты (табл. 2.3). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Таблица 2.3
Показатели
Год
№ квартала,
I
II
III
IV
–
–
213,75
349,5
-336,75
-238,375
277,875
316,25
-299,25
-319,875
322,625
214,375
-233
-233,75
–
–
Всего за -й квартал
-869
-792
814,25
880,125
Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала,
-289,667
-264
271,417
293,375
Скорректированная сезонная компонента,
-292,448
-266,781
268,636
290,593
Для данной модели имеем:
.
Корректирующий коэффициент: .
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты ( ) и заносим полученные данные в таблицу 6.6.
Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 2.4). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда ( ) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
.
Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл. 2.4).
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 2.4).
Таблица 2.4
-292,448
667,448
672,700
380,252
-5,252
27,584
-266,781
637,781
673,624
406,843
-35,843
1284,721
268,636
600,364
674,547
943,183
-74,183
5503,117
290,593
724,407
675,470
966,063
48,937
2394,830
-292,448
649,448
676,394
383,946
-26,946
726,087
-266,781
737,781
677,317
410,536
60,464
3655,895
268,636
723,364
678,240
946,876
45,124
2036,175
290,593
729,407
679,163
969,756
50,244
2524,460
-292,448
682,448
680,087
387,639
2,361
5,574
-266,781
621,781
681,010
414,229
-59,229
3508,074
268,636
723,364
681,933
950,569
41,431
1716,528
290,593
614,407
682,857
973,450
-68,450
4685,403
-292,448
753,448
683,780
391,332
69,668
4853,630
-266,781
720,781
684,703
417,922
36,078
1301,622
268,636
651,364
685,627
954,263
-34,263
1173,953
290,593
636,407
686,550
977,143
-50,143
2514,320
На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.
Рис. 32. График фактических уровней временного ряда
и теоретических, полученных по аддитивной модели.
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.
.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.
Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
.
Получим
;
.
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом,
;
.
Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно. Построение мультипликативной модели проводится по той же схеме, что и построение аддитивной модели
. (2.14)
), сезонной ( 
) и случайной ( 
) компонент.
. (2.15)
) в аддитивной или ( 
) в мультипликативной модели.
. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
.
.
) и заносим полученные данные в таблицу 6.6.
.
(гр. 4 табл. 2.4). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
.
, найдем уровни 
.
уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
;
.
и 
. Таким образом,
;
.