Запускаем MatLab.

2. Создаем m-файл, для чего в левом верхнем окне инструментальной панели нажимаем File, New или нажимаем окно .

3. В открывшемся окне Editor записываем следующую программу:

1. %ВАРИАНТ №___(если строка содержит знак % , вся информация,

2. % следующая за ним, программой игнорируется)

3. W1=tf(20*[1 1],[1 0])

4. W2=tf([1 1],[10 1])

5. W3=tf(1,[1 0])

6. % ДЛЯ ПРОВЕРКИ ПРАВИЛЬНОСТИ НАБОРА В КОНЦЕ СТРОК

7. % 2,3,4 НЕ СТАВИМ ";".

8. % Если ошибок нет, продолжаем набирать программу.

9. W12=W1*W2

10. Wgy=feedback(W12*W3,tf(1,1))

Результат работы программы:

>> W1=tf(20*[1 1],[1 0])

W2=tf([1 1],[10 1])

W3=tf(1,[1 0])

Transfer function:

20 s + 20

--------- % W1

Transfer function:

s + 1

-------- % W2

10 s + 1

Transfer function:

- % W3

>> W12=W1*W2

Transfer function:

20 s^2 + 40 s + 20

------------------

10 s^2 + s

>> W=W12*W3

Transfer function:

20 s^2 + 40 s + 20

------------------ % W – перед. Ф-я РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

10 s^3 + s^2

4. ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

>> BODE(W, {0.01,10}),grid % см Рис. 1

Рис.1

В соответствии с рис. 1 можно построить качественный вид годографа Найквиста, и оказывается, что система, имеющая 2 интегрирующих звена, устойчива при K>K_кр. ЭТО МОЖНО ВИДЕТЬ ИЗ ГОДОГРАФА НАЙКВИСТА (рис. 2).

Nyquist(W,{0.7,1000}), grid on

Рис.2

5. Определение критического коэффициента передачи заданной системы с передаточной функцией , для чего находим передаточную функцию замкнутой системы:

W=W1*W2*W3

Wgy=feedback(W,tf(1,1))

20 s^2 + 40 s + 20

Wgy= ---------------------------------, в которой заданное значение K

10 s^3 + 21 s^2 + 40 s + 20

заменим на K_кр, при этом характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

В соответствии с необходимым условием Гурвица K_крдолжен быть больше 0. Воспользуемся критерием Вышнеградского, согласно которому определение критического коэффициента передачи системы третьего порядка можно получить, приравняв к нулю второй минор определителя Гурвица.

Откуда K_кр=4. Проверяем частотные характеристики для этого значения.

%КРИТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ K=4

W=TF(4*[1 2 1],[10 1 0 0])

BODE(W, {0.01,10}),grid % рис.3

Рис.3

Как видно из графиков, частота среза и частота критическая совпадают, что соответствует границе устойчивости. Отсюда следует возможность определения K_кр по частотным характеристикам.

5а. Определение K_кр по частотным характеристикам.

а) сместить исходную (рис.1) амплитудно-частотную характеристику так, чтобы частоты среза и критическая совпали (рис.3), не трогая при этом фазовую характеристику,

б) определить величину смещения точки А в дБ.

Примечание. Тч А, имеющая координаты 20lgK и w=1, должна лежать на низкочастотнойасимптоте или на её продолжении (если сопрягающая частота w₁ меньше 1), что и имеет место в рассматриваемом случае (рис. 4).

в) Разделив величину на 20 и определив антилогарифм, можно получить значение K_кр. В частности, для рассматриваемого примера величина , что соответствует значению K_кр, равному 4, т.к. При этом K_кр=10^(0.6)=3.9811=~4.

Bode диаграмма

Рис. 4

5б) построение частотных характеристик для системы при K<K_кр.

Пусть K=0.7

%ПРОГРАММА

W1=tf(0.7*[1 1],[1 0]);

W2=tf([1 1],[10 1]);

W3=tf(1,[1 0]);

W=W1*W2*W3

BODE(W, {0.2,1000}), grid (Рис. 5)

Рис. 5

В соответствии с рис. 5 w_cp< w_к_p, что говорит о том, что система неустойчива. Запаса по фазе нет, т.к. на частоте w_cp фаза равна -210^о, из чего следует: годограф Найквиста охватывает точку (-1, j0). Чтобы получить общее представление о виде годографа Найквиста, расширим диапазон частот и построим диаграмму BODE (рис. 6). При увеличении диапазона частот видно, что годограф, начинаясь в бесконечности при w=0, проходит третий квадрант, пересекая ось –π в точке w_к_p = 0.9рад/с, подходит к началу координат при w=∞ со стороны второго квадранта с фазой -90^о (рис. 7).

Рис. 6

6.Построение годографа. Nyquist (W,{0.1, 100}) →Рис. 7а и

Рис. 7а

figure(2), Nyquist (W,{0.3,3})→рис. 7б

Рис. 7б

Рис. 8

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОЯСНЕНИЯ см. в файле КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА_25.11.13.docx