Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.
Формальное представление игр
Дадим формальное описание перечисленных элементов конфликта. Множество всех игроков, обозначаемое I, в случае конечного их числа может задаваться простым перечислением игроков. Например, I = {1, 2} при игре в орлянку, I = {Продавец, Покупатель} в ситуации монополия-монопсония, I = {1, 2, ..., n} в случае анализа результатов голосования в парламенте.
Множество стратегий игрока i обозначим через Xi. При игре в орлянку каждый игрок располагает двумя стратегиями: Xi = {Орел, Решка}; каждый участник голосования имеет выбор на множестве стратегий {За, Против}. В случае взаимодействия на рынке как Продавец, так и Покупатель могут назначать некоторую неотрицательную цену на продаваемый (покупаемый) товар, т.е. множество стратегий каждого из них Xi: Рi > 0.
В каждой партии игрок выбирает некоторую свою стратегию xi Xi , в результате чего складывается набор стратегий x = {x1, x2, ..., xn}, называемый ситуацией. Так, ситуацию в Парламенте описывает список {За, За, Против, За, ...}, полученный в итоге проведенного голосования.
Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что каждому игроку i в каждой ситуации х приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока i и обозначается через hi(x), а соответствие между набором ситуаций и выигрышем игрока i называется функцией выигрыша (платежной функцией) этого игрока Нi.
В случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы – стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций. Данная форма представления конечных игр двух лиц объясняет общее для них название – матричные игры.
Например, в случае игры в орлянку каждый из игроков имеет по две стратегии, именуемые Орел и Решка. Если игроки выбирают одинаковые стратегии, т.е. в случаях, если оба говорят «Орел» или оба говорят «Решка», 1-й игрок выигрывает 1 рубль, а второй игрок проигрывает 1 рубль. В ситуациях, когда оба игрока выбирают различные стратегии, 1‑й игрок проигрывает 1 рубль, а 2‑й игрок соответственно этот 1 рубль выигрывает.
В итоге матрица выигрышей 1‑го игрока Н1 выглядит следующим образом:
Стратегии 2-го игрока
Орел Решка
Стратегии 1-го игрока
Орел
Решка
Соответственно матрица выигрышей 2‑го игрока Н2 имеет вид:
Стратегии 2-го игрока
Орел Решка
Стратегии 1-го игрока
Орел
Решка
Для антагонистических игр, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (игр с нулевой суммой), выполняется соотношение Н1 = –Н2. Игра в орлянку, очевидно, является примером такой игры.
Часто для наглядности матрицы выигрышей для обоих игроков совмещают в одну, которая дает полное представление о всей игре:
Стратегии 2-го игрока
Орел Решка
Стратегии 1-го игрока
Орел
Решка
В каждой клетке этой матрицы слева указаны значения выигрыша 1‑го игрока, справа – значения выигрыша 2‑го игрока.Рассмотрим пример задания матрицы выигрышей для игры с нулевой суммой, называемой в литературе по теории игр Дилемма Заключенного. Содержание игры следующее: два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (скажем, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться или сознаваться, выдав при этом сообщника. В итоге можно получить следующую матрицу «выигрышей» для обоих игроков:
Стратегии 2-го игрока
Сознаться Не сознаться
Стратегии 1-го игрока
Сознаться
Не сознаться
Приведем пример записи функции выигрыша для бесконечной игры. В случае дуополии каждый из игроков может объявить цену р, по которой он хотел бы продать некоторое количество товара. При этом предполагается, что потребители приобретут товар у фирмы, объявившей меньшую цену, или распределяет свой спрос поровну между фирмами в случае, если они назначили одинаковую цену. Если функцию спроса в зависимости от цены на товар обозначить как d(p), то функция выигрыша 1‑й фирмы П1(р1, р2) будет иметь вид
{ р1d(p1), если p1 < p2,
П1(р1, р2) = { если p1 = p2,
{ 0, если p1 > p2.
Аналогично выглядит функция выигрыша 2-й фирмы П2(р1, р2).
Xi , в результате чего складывается набор стратегий x = {x1, x2, ..., xn}, называемый ситуацией. Так, ситуацию в Парламенте описывает список {За, За, Против, За, ...}, полученный в итоге проведенного голосования.
если p1 = p2,