Решение

Проекцией данного тела, образованного пересечением плоскости и параболоида вращения на плоскость XOY является область D: x² + y² ≤ – x – y, т.е. круг .

Поэтому в силу симметрии тела относительно плоскости x = y имеем x₀ = y₀.

Положим x = rcosφ – 1/2, y = rsinφ – 1/2. Масса данного тела равна

M = ρ = ρ =

= ρ =

= 2πρ = 2πρ = .

Далее

x₀ = y₀ = =

= =

= – = – ,

z₀ = = =

= =

= = .

Итак, координаты центра тяжести: x₀ = y₀ = – , z₀ = .

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. [Текст] : учеб. пособие для вузов / Бугров Я.С., Никольский С.М. – М., Наука, 1997. – 446 с.

2. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш.Кремера. [Текст] : учеб. пособие для вузов / Н.Ш.Кремер и др. – М., Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003. – 470 с.

3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты [Текст] : учеб. пособие / Кузнецов Л.А. – 4-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. – 240 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2. [Текст] : учеб. пособие для вузов / Пискунов Н.С. – М.: Интеграл-Пресс, 2001. – 544 с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. [Текст] : учеб. пособие для вузов / Письменный Д.Т. – М.: Рольф, 2000. – 288 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. [Текст] : учеб. пособие для вузов / Фихтенгольц Г.М. – М., 1963 – 656 с.

7. Шипачев В.С. Высшая математика. [Текст] : учеб. пособие для вузов / Шипачев В.С. – М., Высшая школа, 2003. – 562 с.