Так как, масса тела равна тройному интегралу от плотности:
m = 
,
следовательно, задача отыскания массы тела сводится к вычислению тройного интеграла от функции плотности по соответствующей фигуре.
Выполним рисунок области интегрирования, ограниченной заданными в условии поверхностями (рис. 2.22).
Рисунок. 2.22 Рисунок. 2.23
Область является правильной относительно всех осей. Проектируем тело на плоскость xOy. Проекция области V на выбранную плоскость изображена на рис. 2.23.
Так как одна из образующих поверхности тела – цилиндр, то удобнее перейти в цилиндрическую систему координат. Уравнения поверхностей в цилиндрической системе координат имеют вид:
μ = 5ρ2 – функция плотности,
z = ρ – уравнение конуса,
ρ = 2 – уравнение цилиндра,
ρsinφ = 0 – уравнение плоскости,
z = 0 – уравнение плоскости.
Тогда исходный интеграл сводится к повторному, с пределами интегрирования (рис. 2.22) по переменной z от 0 до ρ, по переменной ρ от 0 до 2, по φ от 0 до π (т.к. проекция на плоскость xOy – верхняя часть окружности с радиусом равным 2, рис. 2.23). Тогда, с учетом якобиана перехода, имеем:
= 
= 
= 5 
=
= 5 
= 5 
= 5 
= 32 
= 32 
= 32π.
Пример 8.Найти массу и момент инерции однородного тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 = 2z и x2 + y2 = z2 относительно прямой x = 0, z = 4.
