Замена переменных в тройных интегралах

Идеи, развитые в пункте 1.5.2. в связи с преобразованием плоских областей, естественно переносятся и на случай пространственных областей.

Предположим, что даны два трехмерных пространства с системами координат xyz, и uvw. Рассмотрим в этих пространствах две замкнутые области: область (V) в пространстве и область в пространстве , ограниченные соответственно поверхностями и , которые мы всегда будем предполагать кусочно-гладкими. Допустим, что эти области связаны между собой взаимно однозначным непрерывным соответствием, которое осуществляется формулами:

, (2.3)

При этом необходимо, чтобы точкам поверхности отвечали именно точки поверхности и наоборот.

Пусть функции (2.3) имеют в области непрерывные частные производные.

Определение 4. Определитель третьего порядка следующего вида

(2.4)

называют якобианом перехода от декартовых координат к криволинейным и обозначают .

Числа , однозначно характеризующие положение точки в пространстве xyz, называются криволинейными координатами этой точки. Точки пространства xyz, для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всегда будет существовать три семейства таких координатных поверхностей; через каждую точку области (V) проходит по одной поверхности каждого семейства.

Тогда формула перехода от декартовых координат к криволинейным координатам будет иметь следующий вид:

. (2.5)

ЗАМЕЧАНИЕ 1. На практике рассматривают не два координатных пространствах, а одно совмещенное.

а) Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости с обычной декартовой аппликатой z (рис. 2.8).

Рисунок. 2.8

Формулы, связывающие их с декартовыми координатами, имеют вид

Эти формулы отображают область 0 ≤ ρ < +¥, 0 ≤ φ < 2π, –¥ < z < +¥ на все пространство xyz. Отметим, однако, что прямая отображается в одну точку (0,0,z); этим нарушается взаимная однозначность соответствия. Координатные поверхности в рассматриваемом случае будут:

а) - цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси ; направляющими для них служат окружности на плоскости с центром в начале;

б) - плоскости, проходящие через ось ;

в) - плоскости, параллельные плоскости .

По формуле (2.4) получаем якобиан преобразования:

, (2.6)

а формула перехода (2.5) принимает вид

. (2.7)

б) Сферические координаты связаны с декартовыми формулами:

, (2.8)

где .

Геометрический смысл величин ясен из рисунка 2.9: r есть радиус-вектор OM, соединяющий начало с данной точкой M; - угол, составляемый этим радиус-вектором с осью Oz; - угол, составляемый с осью Ox проекцией радиус-вектора OM на плоскость xOy.