а) Восстановим область интегрирования (D). Рассматривая оба слагаемых одновременно, заключаем, что нижний предел внутреннего интеграла на участках 0 ≤ х ≤ 1 и 1 ≤ х ≤ 3 выражается через x одинаково: (парабола). Верхним же пределом на участке 0 ≤ х ≤ 1 является прямая y = x, а на участке 1 ≤ х ≤ 3 - прямая y = 1. Этого достаточно, чтобы построить область (D) (рис. 1.11).
Рисунок. 1.11
б) Из чертежа (см. рис. 1.11) видно, что постоянными пределами по y являются числа 0 и 1. Нижним пределом изменения x будет x = y, а верхним –
x = 3 
. Корень берем с положительным знаком потому, что все точки области (D) имеют неотрицательные абсциссы. Искомый повторный интеграл представится в виде:
ПРИМЕР 5.Вычислить двойной интеграл I = 
, где область(D) ограничена прямыми x = 0, y = 0, x + y = 1.
Решение
Область (D) изображена на рисунке 1.12.
Рисунок. 1.12
Возьмем постоянные пределы по переменной x, 0 ≤ х ≤ 1 . Тогда по y нижним пределом будет y = 0, а верхним y = 1 – x. Получим:
I = 
= 
= 
=
= 
= 
= 
.
