Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием , причем функция определена в некоторой области, содержащей точку , и удовлетворяет в этой области условию Липшица по переменной : . Тогда на некотором отрезке существует единственное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

Доказательство. Заданное дифференциальное уравнение с начальным условием равносильно интегральному уравнению . Предложим построить решение интегрального уравнения методом итераций: пусть , ,….., ,…. Предложенный процесс итераций бесконечен. Покажем, что получаемая последовательность функций , сходится на некотором отрезке . Рассмотрим . В соответствии с интегральными неравенствами и условием Липшица

Выберем положительное число так, чтобы . Тогда

.

Пользуясь свойством модуля суммы, получим

Вследствие того, что , значение можно сделать сколь угодно малым при достаточно большом значении . Следовательно, при любом значении последовательность , фундаментальна, а значит, имеет предел. Следовательно, существует .

Единственность итерационного решения доказывается подобным способом: предположим, что существуют два решения исходного дифференциального уравнения (они же – решения приведенного интегрального уравнения) и . Следовательно, . Отсюда согласно условию Липшица и выбору числа получим . Последнее в силу того, что , возможно только в том случае, когда , что и доказывает единственность решения на выбранном отрезке.