Понятие дифференциала функции

Тема №9. Дифференциал функции

Цель лекции: Применить понятие производной к практической цели – приближенному вычислению значений различных функций через понятие дифференциала функции. Довести до студентов, что возможности вычислений с помощью компьютерной техники в глубине базируются на понятии дифференциала.

Перечень вопросов, выносимых для рассмотрения:

1. Определение дифференциала и его геометрический смысл.

2. Основные свойства дифференциала.

3. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у = f(х) определена на отрезке [a; b] и в точке x = x₀этого отрезка имеет производную . Аргументу x₀ дадим приращение Δx.

Определение. Произведение производной функции у = f(х) в точке х₀ на приращение аргумента называется дифференциалам функции у = f(х) в точке х₀ и обозначается dу или df(х₀), т.е.

dу = f (х₀)∙Δx .

Дифференциал независимой переменнойравен приращению этой переменной: . Поэтому формулу дифференциала функции можно записывать и виде: . Отсюда, в частности, получаем

.

Теперь мы видим, что dу/dx не просто символическое обозначение производной, а обычное отношение дифференциала функции dy к дифференциалу ее аргумента dx, т.е. производная функции у = f(х) в точке x = x₀ равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента в этой точке.

Пример 1.Найти дифференциал функции в точке x = 0 в общем случае и при Δx = 0.2.

Решение. Производная функции Отсюда y (0) = 3. Поэтому дифференциал функцииdу = y(0)·Δx = 3 Δx.

В частности, при Δx = 0,2 получаем dу = 3Δx = 0,6.