Выбор оптимальной стратегии замены оборудования как задача динамического программирования

Определить оптимальную стратегию использования оборудования в период времени длительностью т лет, причем прибыль за каждые i лет, i= от использования оборудования возраста t лет должна быть максимальной.

Известны

r(t) – выручка от реализации продукции, произведенной за год на оборудовании возраста t лет;

l(t) – годовые затраты, зависящие от возраста оборудования t;

с(t) – остаточная стоимость оборудования возраста t лет;

Р – стоимость нового оборудования.

Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, выраженный в годах.

Воспользуемся приведенными выше этапами составления математической модели задачи.

1. Определение числа шагов. Число шагов равно числу лет, в течение которого эксплуатировалось это оборудование.

2. Определние состояний системы. Состояние системы характеризуется возрастом оборудования t, t= .

3. Определение уравнений. В начале i-го шага, i= может быть выбрано одно из двух управлений: заменять или не заменять оборудование. Каждому варианту управления приписывается число

4. Определение функции выигрыша на i-ом шаге. Функция выигрыша на i-ом шаге – это прибыль от использования оборудования к концу i-го года эксплуатации, t= , i= . Таким образом, если оборудование не продается, то прибыль от его использования – это разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками. При замене оборудования прибыль составляет разность между остаточной стоимостью оборудования и стоимостью нового оборудования, к которой прибавляется разность между стоимостью продукции и эксплуатационными издержками для нового оборудования, возраст которого в начале i-го шага составляет 0 лет.

5. Определение функции изменения состояния

(9.7)

Таким образом, если оборудование не меняется х_i=0, то возраст оборудования увеличивается на один год t+1, если же оборудование меняется х_i=1, то оборудование будет годовалым.

6. Составление функционального уравнения для i=т

Верхняя строка функционального уравнения соответствует ситуации, при которой в последний год оборудование не меняется и предприятие получает выигрыш в размере разницы между выручкой r(t) и годовыми затратами l(t).

7. Составление основного функционального уравнения

где W_i(t) – прибыль от использования оборудования возраста t лет с i-го шага (с конца i-го года) до конца периода эксплуатации;

W_i+1(t) – прибыль от использования оборудования возраста t+1год с (i+1)-го шага до конца периода эксплуатации.

Математическая модель задачи построена.

Пример

т=12, р=10, с(t)=0, r(t) – l(t)=φ(t).

Значения φ(t) даны в таблице 9.1.

Таблица 9.1.

Для данного примера функциональные уравнения будут иметь вид

Рассмотрим заполнение таблицы для нескольких шагов.

Условная оптимизация начинается с последнего 12-го шага. Для i=12 рассматриваются возможные состояния системы t=0, 1, 2, …, 12. Функциональное уравнение на 12-ом шаге имеет вид

i=12

1) t=0 х₁₂(0)=0.

2) t=1 х₁₂(1)=0.

……..

10) t=9 х₁₂(9)=0.

11) t=10 х₁₂(10)=0; х₁₂(10)=1.

………

13) t=12 х₁₂(12)=0; х₁₂(12)=1.

Таким образом, на 12-ом шаге оборудование возраста 0 – 9 лет заменять не надо. Оборудование возраста 10 – 12 лет можно заменить или продолжить его эксплуатировать, так как для t=10, 11, 12 имеется два условных оптимизационных управления 1 и 0.

По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы 9.2, соответствующие i=12.

Условная оптимизация 11-го шага.

Для i=11 рассматриваются все возможные состояния системы t=0, 1, 2, …, 12. Функциональное уравнение на 11-м шаге имеет вид

i=11

1) t=0 х₁₁(0)=0.

2) t=1 х₁₁ (1)=0.

……..

6) t=5 х₁₁(5)=0; х₁₁(5)=1.

7) t=6 х₁₁(6)=1.

………

13) t=12 х₁₁(12)=1.

Таким образом на 11-ом шаге не следует заменять оборудование возраста 0 – 4 года. Для оборудования возраста 5 лет возможны две стратегии использования: заменить или продолжать эксплуатировать.

Начиная с 6-го года оборудование следует заменять. По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы 9.2, соответствующие i=11.

i=10

1) t=0 х₁₀(0)=0.

2) t=1 х₁₀(1)=0.

3) t=2 х₁₀(2)=0.

4) t=3 х₁₀(3)=0.

5) t=4 х₁₀(4)=1.

……..

13) t=12 х₁₀(12)=1.

На 10-ом шаге не следует заменять оборудование возраста 0 – 3 года. Начиная с 4-го года, оборудование следует заменять, так как новое оборудование приносит бóльшую прибыль.

По результатам расчетов заполняются два столбца в 9.2, соответствующие i=10.

Аналогичным образом заполняются остальные девять столбцов таблицы 9.2. При расчетах W_i+1(t) на каждом шаге значения φ(t) для каждого t=0, 1, 2, …, 12 берутся из таблицы 9.1 исходных данных, приведенной в условии задачи, а значения W_i(t) – из последнего, заполненного на предыдущем шаге столбца в 9.2.

Этап условной оптимизации заканчивается после заполнения таблицы 9.2.

Безусловная оптимизация начинается с первого шага.

Предположим, что на первом шаге i=1 имеется новое оборудование, возраст которого 0 лет.

Для t=t₁=0 оптимальный выигрыш составляет W₁(0)=82. Это значение соответствует максимальной прибыли от использования нового оборудования в течение 12 лет.

W*=W₁(0)=82.

Выигрышу W₁(0)=82 соответствует безусловное оптимальное управление х₁(0)=0.

Для i=2 по формуле (9.7) t₂=t₁+1=1.

Безусловное оптимальное управление х₂(1)=0.

Для i=3 по формуле (9.7) t₃=t₂+1=2.

Безусловное оптимальное управление х₃(2)=0.

Далее аналогично

В рамках данной задачи оптимальная стратегия заключается в замене оборудования при достижении им возраста 4-х лет. Аналогичным образом можно определить оптимальную стратегию использования оборудования любого возраста.

В левой колонке таблицы 9.2 записываются возможные случаи системы t= , в верхней строке – номера шагов i= . Для каждого шага определяются условные оптимальные управления х_i(t) и условный оптимальный выигрыш W_i(t) c i-го шага и до конца для оборудования возраста t лет.

Управления, составляющие оптимальную стратегию использования оборудования, выделены в таблице 9.2 жирным шрифтом.

Таблица 9.2.