Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к (часто обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

· (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

Произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел есть действительное число:

·

·

Другие соотношения:

·

·

Обобщение: , где — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. Из этого следует, что многочлен с вещественными коэффициентами имеет либо только действительные корни, либо, если он имеет корни с ненулевой мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряжённых.

Произведение комплексно-сопряженных чисел важно в квантовой механике: не имеющая физического смысла комплексная волновая функция, исчерпывающе описывающая систему микрочастиц, будучи умноженной на своё комплексное сопряжение даёт имеющую физический смысл плотность вероятности нахождения частицы в рассматриваемой точке.

Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряжённое к знаменателю выражению используется для устранения комплексности знаменателя, что позволяет выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

·

·

Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа .

Представление комплексных чисел