Взаимное расположение прямых на плоскости.

A₁/ A₂= B₁/ B₂ =C₁/ C₂ (две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке либо совпадают либо параллельны)

Условия параллельностисовпадает с условием коллинеарности векторов:A₁/A₂= B₁/B₂=C₁/C₂

Условия перпендикулярностиравносильно условию перпендикулярности их направляющих векторов a₁ a₂ A₁*A₂+ B₁*B₂+ C₁*C₂

40. Разъяснить критерии взаимного расположения прямой и плоскости. Дать определение угла между прямой и плоскостью, расстояния от точки до плоскости, записать соответствующие формулы..

40. Взаимное расположение прямой и плоскости определяется множеством решений линейной системы

Углом между прямой и плоскостьюназывается любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол  = 90⁰ - , где  - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

Пусть плоскость П,задана уравнением Ax+By+Cz+D=0 и дана точка M_o(X_o;Y_o; Z_o) . Тогда расстояние p от точки M_o до плоскости П определяется по формуле

41. Дать определение числовой последовательности, изложить ее свойства. Перечислить виды последовательностей. и способы задания числовой последовательности

41. Числовая последовательность – это числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Задать последовательность означает задать правило, по которому каждому номеру из ряда натуральных чисел соответствует одно и только одно действительное число.

Способы задания последовательности:

1) формулой общего члена

2) рекуррентной формулой

3) словесным описанием

4) графически

5) точками на числовой оси

Свойства числовых последовательностей:

1) монотонность

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый её член начиная со второго больше (меньше) предыдущего.

x_n+1>x_n -- возрастающая

x_n-1 <x_n -- убывающая

x_n+1≤x_n -- невозрастающая

x_n-1≥ x_n – неубывающая

2) ограниченность

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Последовательность {Xn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M (m) такое, что выполняется неравенство Xn≤М (Xn≥m).

42. Дать определение арифметической прогрессия и изложить ее свойства

42. Арифметическая прогрессия -Это последовательность, всякий член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом. х_n+1=х_n+d

Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

43..Дать определение геометрической прогрессия и изложить ее свойства

43. Геометрическая - это последовательность, всякий член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число. х_n+1=х_n+q

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

,

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

, при

, при

Если , то при , и

при .

44. Дать понятие предела последовательности. Изложить критерий Коши и Сформулировать теоремы о свойствах предела последовательности.

44.Конечное число а называется пределом числовой последовательности x₁; x₂; ... ; х_n; ... (или просто {х_n}), если для любого > 0 (сколь угодно малого) существует число N = N( ) такое, что |х_n - а| N.
Обозначение: = а.
Определение 2. Числовая последовательность имеет бесконечный предел, если для любого > 0 (сколь угодно большого) существует число N = N( ) такое, что | х_n при всех n > N.

Обозначение: = м

Критерий Коши:

Число а называется пределом числовой последовательности {Xn} при n стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа эпсилон найдётся такое натуральное число N, зависящее от эпсилон, что для всех n≥N выполняется неравенство │Xn-а│<E.

Теоремы о пределах последовательностей:

1) Если последовательности {x_n} и {y_n} сходятся и выполняются равенства , , то сходятся также их сумма, разность, произведение и частное.

И верны формулы:

Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела.

2) Если между членами трёх последовательностей {Xn} {Yx} {Zn} выполняется неравентсво Xn≤Zn≤Yn и пределы существуют и равны между собой, то существует и предел последовательности Zn, который равен их общему пределу.

45. .Дать понятие бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, изложить их свойства

45. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, есть бесконечно малая последовательность.

Следствие: произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3) для того, чтобы выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы последовательность можно было представить в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой последовательности.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа М>0 найдется такое натуральное число N, что для всех n начиная с этого номера выполняется условие │Xn│>М.

Свойства бесконечно больших последовательностей:

1) Если {α_n}бесконечно малая последовательность, то { } бесконечно большая последовательность. Если {α_n}бесконечно большая последовательность, то { } бесконечно малая последовательность.

2) Если предел последовательности β_n=∞ и все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, положительны, то последовательность стремится к положительной бесконечности. А если члены отрицательны, то последовательность стремится к отрицательной бесконечности.

46. Дать понятие предела функции в точке. Изложить критерий Гейне и критерий Коши. Сформулировать теоремы о свойствах пределов функций

46. Предел функций в точке:

Предел в точке -числоb назв. пределом функции f в точке x=a, если для любой послед {Xk}, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции {F(k)} сходится к b.

Критерий Гейне: число А называется пределом функции в точке х₀, если для любой последовательности значений аргументов {x_n} сходящейся к х₀, соответствующая последовательность значений функций сходится к А.

Критерий Коши: число А называется пределом функции при х стремящемся к х₀, если для любого эпсилон больше нуля можно указать такое положительное δ(дельта), зависящее от эпсилон, что для любого х удовлетворяющего неравенству 0<│х- х₀│<δ выполняется неравенство │f(x)-А│<Е.

Теоремы о пределах:

Если существуют , , то существует также предел их суммы, разности, произведения и частного.

Следствия:

1) постоянный множитель можно выносить за знак предела

2) предел многочлена в точке равен значению многочлена в этой точке.

3) предел дробно-рациональной функции также равен значению функции в этой точке при условии, что точка принадлежит области определения функции.

Если при вычислении предела и числитель и знаменатель имеют предел равный нулю, то нужно разделить их на двучлен х- х₀ и вычислить предел, при необходимости повторить.

47 Дать понятие предела функции на бесконечности и односторонних пределов. Раскрыть суть вычисления пределов как раскрытия неопределенностей. Записать формулы замечательных пределов..

47. Предел в бесконечности - числоb назв. пределом функции f в точке x→∞, если для бесконечно. большой. Предел (б.б.п) {Xn}, соответствующая последовательность значений функции {F(x_n)} сходится к b

Односторонние пределы:

Если число А₁ (число А₂) есть предел функции при х, стремящемся к а так, что х принимает только значения меньшие (большие) а, то А₁ (А₂) называется левым (правым) пределом функции в точке а.

методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа: ; ; ; ; ; ; .

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Замечательные пределы:

1) =1

2)

-- Эйлеров предел в двух видах

3)

4)

5)

6)

7)

48. Определить понятия бесконечно больших и бесконечно малых функций, эквивалентности бесконечно малых функций. Записать формулы эквивалентных бесконечно малых функций

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого зна