Первый и второй дифференциал. Касательная плоскость.

14.1.Найдите приращение и дифференциал функции в точке .

14.2.Найдите приращение и дифференциал функции в точке .

14.3.Найдите первый дифференциал функции в данной точке

а) , ( ; б) , ; в) , ;

г) , ; д) , .

14.4.Найдите первый дифференциал функции

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) .

14.5.Найдите все частные производные второго порядка

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

14.6.Покажите, что если , то .

14.7.Покажите, что если , то .

14.8.Найдите все производные третьего порядка

а) ;б) ;в) ; г) .

14.9.Найдите вторые дифференциалы

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) .

14.10.Найдите точки, в которых если

а) ; б) ; в) .

14.11.Найдите точки, в которых дифференциал функции равен нулю

а) ; б) .

14.12. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , при этом А(2; 6), B(2; 6,01), C(2,02; 6). Найти приближенно частные производные точке в A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .

14.13. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , при этом А(3; 7), B(3; 7,01), C(3,02; 7). Найти приближенно частные производные в точке A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .

14.14.Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , при этом А(3; 6), B(3; 6,01), C(3,02; 6). Найти приближенно частные производные точке в A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .

14.15.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

14.16.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

14.17.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

14.18. .Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

14.19.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

14.20.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

14.21.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностив точке .

14.22.К поверхности проведите касательные плоскости, параллельные плоскости .

14.23.К поверхности проведите касательные плоскости, параллельные плоскости .

14.24.К сфере проведите касательную плоскость, перпендикулярную плоскостям и .

Ответы: 14.1 , ;

14.2 , ; 14.3. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; 14.10. а) ; б) , ; в) ; 14.11. а) , ; б) , , .;14.12. 0; 14.13.24/5; 14.14.0;

14.15. , ; 14.16. , ;

14.17. , ; 14.18. , ;

14.19. , ; 14.20. , ;

14.21. , ; 14.22. ; 14.23. ;

14.24. .