ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ I-го ПОРЯДКА. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ.

, ,

Тип уравнения	Методы решения
Уравнение с разделяющимися переменными – уравнение, в котором каждая из переменных (х или у) содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал: .	.
Однородное уравнение – 1) уравнение , если его левая часть представляет собой однородную функцию относительно х и у, рассматриваемых как независимые переменные, то есть если или 2) уравнение, которое может быть представлено в виде: .	Приведем уравнение к виду . Замена: , тогда и . Подставим в исходное уравнение: – уравнение с разделяющимися переменными. . После интегрирования необходимо сделать обратную замену .
Линейное уравнение – уравнение, приводимое к линейному виду относительно искомой функции и ее производной: – линейное неоднородное. – линейное однородное.	1 способ. Метод Бернулли или подстановки. Замена: , тогда Подставим в исходное уравнение : . Вынесем за скобки любую из функций, например u(x): . Выберем в качестве v(x) какое-нибудь частное решение уравнения в квадратных скобках. Для этого составим систему: Решим отдельно уравнение (1), записав . Это уравнение с разделяющимися переменными: (С = 0) . Решим уравнение (2), подставив в него ранее найденную функцию v(x) и записав : . Подставим найденные функции u(x) v(x) в подстановку и получим общее решение: = . 2 способ. Метод Лагранжа или вариации произвольной постоянной. . Рассмотрим однородное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными, т.е. – общее решение линейного однородного, где С – произвольная постоянная. Общее решение линейного неоднородного уравнения, т.е. искомого ищем в виде: , () где С(х) – функция, которую подбираем так, чтобы у(х) было решением ДУ. . Подставим у(х) и в исходное уравнение: . Два слагаемых сократятся! , так как , то можем записать, что . Отсюда , где С – постоянная. Подставим выражение для С(х) в (), тогда общее решение линейного неоднородного уравнения: у_он .
Уравнение Бернулли n = 0 – линейное уравнение, n = 1 – с разделяющимися переменными.	1 способ. Метод Бернулли или подстановки. Замена: , тогда Подставим в исходное уравнение: . Составим систему: Далее, как при решении линейных уравнений. 2 способ. Метод подстановки. Замена: , тогда Для подстановки, разделим исходное уравнение на yⁿ: .
Уравнение в полных дифференциалах , при условии, что .	Определение.Дифференциальное выражение является полным дифференциалом, если существует функция u(x, y) такая, что . Из определения полного дифференциала ФДП следует, что , отсюда . Из теоремы о равенстве смешанных производных следует, что . Решение. , отсюда , следовательно, u(x, y) = C, где С – произвольная постоянная. u(x, y) = C – общий интеграл уравнения (). Функция u(x, y) может быть найдена из условий: . Проинтегрируем уравнение (1) частным образом: , а так как u(x, y) – функция двух переменных, то после интегрирования получаем не постоянную С, а некоторую произвольную функцию f(y), зависящую от y, так как интегрируем по переменной х: (3). Найдем функцию f(y). Для этого продифференцируем (3) по переменной у частным образом: . С другой стороны из уравнений (2) . Отсюда, правые части этих равенств тоже равны и . После сокращения получаем, что – ФОП у. Найдем f(y) интегрированием: . (4) Подставим (4) в (3): . По () получим общий интеграл: = С или .