Алгоритм декодирования МАВ

Алгоритм МАВ выносит жёсткое решение и вещественное число, которое называется апостериорной вероятностью (АПВ). АПВ является вероятностью того, что жёсткое решение правильное.

Процесс кодирования линейным свёрточным кодом может быть описан как дискретный во времени Марковский процесс с конечным числом состояний. Этот процесс можно представить графически в виде диаграммы состояний или решётки.

Рассматриваемая модель системы показана на рисунке 1

Рисунок 1 Модель системы связи

Кодированный блок на выходе кодера, представленного как Марковский источник, обозначен x_t, он передаётся через дискретный канал без памяти на выходе которого появляется блок r_t , который представляет собой версию x_t испорченную шумом.

Декодер выдаёт оценку информации, поступившей на вход кодера на основании анализа r_t.

В общем случае входные символы b_t , t=1, 2, ... N, где N целое, могут быть не двоичными, но для упрощения рассуждений предположим, что символы двоичные, равновероятные и независимые между собой.

Битовая последовательность

b_t=(b₁, b₂, ... b_N)

кодируется систематическим свёрточным кодом с обратными связями. Решётка кода имеет M=2^m состояний. Состояния нумеруются целыми числами l в диапазоне 0 ... M-1. Состояние решётки в момент времени t обозначим S_t. Последовательность состояний от момента времени t до момента t' обозначается что представляет собой

Соответствующие последовательности на выходе кодера обозначим

,

где

,

где n номер выхода кодера

Последовательность модулируется ФМ-2. Модулированная последовательность обозначается , что представляет собой

,

где

,

и

(1)

На модулированную последовательность накладывается АБГШ в процессе передачи и на выходе канала принимается последовательность

,

где

,

и

где n_t,i - центрированный Гауссовский случайный процесс с дисперсией = s². Каждый отсчёт шума является независимым относительно любого другого отсчёта.

Содержимое регистра сдвига кодера в момент времени t обозначено S_t и при переходе в состояние S_t+1 он принимает на вход символ b_i+1 и выдаёт на выход кодированный блок v_t+1. Изменение состояния кодера отображено в диаграмме состояний.

Пусть b_t информационный бит, который вызывает переход из состояния S_t-1 в состояние S_t и производит на выходе отклик v_t. Декодер даёт оценку символа на входе Марковского источника на основании принятого r_t. Алгоритм обеспечивает логарифм вероятности, обозначенный L(b_t), связанный с принятой последовательностью

, ( 2)

где , i=0, 1 апостериорная вероятность того, что передан символ i. Декодер даёт оценку путем сравнения величины L(b_t) с нулём.

( 4)

Апостериорная вероятность (1.2) может быть вычислена так

( 5)

где набор переходов из состояния S_t-1=l' Þ S_t=l в случае если поступил бит b_t=0.

Аналогично

( 6)

где набор переходов из состояния S_t-1=l' Þ S_t=l в случае если поступил бит b_t=1.

Таким образом, на основании 4 можно записать

(7)

Апостериорная вероятность декодируемого информационного символа может быть получена из условной вероятности, определённой как

(8)

Тогда уравнение (7) можно записать

( 9)

Аналогично апостериорная вероятность для b_t=1 можно записать

( 10)

Таким образом логарифм вероятности L(b_t)

( 11)

Логарифм вероятности L(b_t) представляет собой мягкий выход декодера МАВ. Его можно подать на вход другого декодера, соединённого с первым каскадно, либо использовать на следующей итерации в итерационном декодере. И в конце декодер может выносить жёсткое решение путём сравнения величины L(b_t) с нулём.

Условная вероятность s_t(l',l) может вычисляться рекуррентно [50].