В задании VI требуется вычислить длины кривых, заданных тремя различными способами.

Если кривая задана в прямоугольной системе координат, уравнением , где , то ее длина находится по формуле

Если кривая задана параметрическими уравнениями

то длина дуги кривой вычисляется по формуле

Отметим, что здесь, естественно, предполагается, что функции , и их производные и непрерывны на промежутке .

В том случае, когда кривая задана уравнением в полярных координатах , причём функция и её производная непрерывны на промежутке , то

Пример 12. Найти длину дуги кривой

Решение.

Найдем сначала неопределенный интеграл. Сделаем замену переменной (подстановка Эйлера):

(*)

Выразим x через t.

Подставляем в интеграл, учитывая выражение (*) для корня.

Теперь по формуле Ньютона-Лейбница получаем результат:

В задании VII требуется вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Причем функция может быть задана в декартовых, параметрических или полярных координатах.

Если объем V тела существует и есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке x, то

.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции , где - непрерывная однозначная функция, равен

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой , , вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

.

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой и лучами вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения равен:

Рассмотрим типовые задачи:

Пример 13. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Т.к. область значений функции - , то фигура, ограниченная заданными линиями будет лежать в верхней полуплоскости.

Найдём абсциссы точек пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений:

Имеем , .

Тогда, объем тела:

Пример 14. Фигура, ограниченная кривой , и осью Ox, вращается вокруг оси Оy. Найти объем тела вращения.

Решение. Если t=0, то x=4, y=0, если t= , то x=0, y=0. Причем и . Следовательно, объем тела вращения равен:

Пример 15. Фигура, ограниченная линией , вращается вокруг полярной оси. Найти объем тела вращения.

Решение. Фигура симметрична относительно полярной оси, поэтому для вычисления объема достаточно вращать ее верхнюю половину .