русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

В задании IV требуется проинтегрировать некоторую тригонометрическую функцию. Рассмотрим основные приемы вычисления подобных интегралов.


Дата добавления: 2015-09-15; просмотров: 767; Нарушение авторских прав


1. Интеграл вида , где - рациональная функция, можно привести к интегралу от рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой . Используя формулы тригонометрии, получим . Кроме того , откуда .

Применение этой подстановки доказывает, что каждый интеграл сводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, первообразная функции , стоящей под интегралом, выражается через элементарные функции.

2. Универсальная тригонометрическая подстановка очень часто приводит к дроби, интегрирование которой представляет собой весьма трудоемкий процесс. Поэтому эта подстановка на практике используется очень редко. Чаще при вычислении интеграла вида , где - рациональная функция двух переменных, применяются следующие подстановки:

а) Если функция нечетна относительно первой переменной, т.е. , то применяется подстановка .

b) Если функция нечетна относительно второй переменной, т.е. , то применяется подстановка .

c) Если функция четна относительно обеих переменных, т.е. , то применяется подстановка .

3. Интегралы вида , и приводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

4. Рассмотрим интегралы вида , где n и m – целые неотрицательные числа.

Если n – нечетное число, то можно сделать подстановку . Тогда , и данный интеграл приводится к виду . Если n – число четное, но нечетным будет m, то аналогично можно сделать подстановку и привести интеграл к виду .

Если оба показателя n и m четные, то применяют формулы понижения степени: .

5. Некоторые интегралы от рациональных и иррациональных функций легко вычисляются с помощью тригонометрических подстановок, в частности:

- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки ;

- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки ;



- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки ;

- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки .

 

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку*: .

Тогда

.

 

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Функция, стоящая под интегралом, нечетна относительно синуса: , поэтому сделаем подстановку . Тогда

 

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем произведение, стоящее под знаком интеграла в сумму:

.

 

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. Так как стоит в нечетной степени, то сделаем замену . Тогда

.

 

Пример 10. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь стоит в четной степени, поэтому воспользуемся формулами понижения степени:

 

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
В задании III требуется найти интеграл от рациональной функции. Опишем указанную процедуру, приведя основную теорему. | В задании V требуется найти площадь плоской фигуры с использованием определенного интеграла. Приведем основные формулы, необходимые для этого.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.004 сек.