1. Интеграл вида , где - рациональная функция, можно привести к интегралу от рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой . Используя формулы тригонометрии, получим . Кроме того , откуда .
Применение этой подстановки доказывает, что каждый интеграл сводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, первообразная функции , стоящей под интегралом, выражается через элементарные функции.
2. Универсальная тригонометрическая подстановка очень часто приводит к дроби, интегрирование которой представляет собой весьма трудоемкий процесс. Поэтому эта подстановка на практике используется очень редко. Чаще при вычислении интеграла вида , где - рациональная функция двух переменных, применяются следующие подстановки:
а) Если функция нечетна относительно первой переменной, т.е. , то применяется подстановка .
b) Если функция нечетна относительно второй переменной, т.е. , то применяется подстановка .
c) Если функция четна относительно обеих переменных, т.е. , то применяется подстановка .
3. Интегралы вида , и приводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
4. Рассмотрим интегралы вида , где n и m – целые неотрицательные числа.
Если n – нечетное число, то можно сделать подстановку . Тогда , и данный интеграл приводится к виду . Если n – число четное, но нечетным будет m, то аналогично можно сделать подстановку и привести интеграл к виду .
Если оба показателя n и m четные, то применяют формулы понижения степени: .
5. Некоторые интегралы от рациональных и иррациональных функций легко вычисляются с помощью тригонометрических подстановок, в частности:
- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки ;
- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки ;
- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки ;
- интеграл вида можно вычислить с помощью подстановки .