Двумерные массивы

Описание

Массивы, положение элементов в которых описывается двумя индексами, называются двумерными. Их можно представить в виде прямоугольной таблицы или матрицы.

Рассмотрим матрицу А размерностью 2*3, то есть в ней будет две строки, а в каждой строке по три элемента:

Каждый элемент имеет свой номер, как у одномерных массивов, но сейчас номер уже состоит из двух чисел - номера строки, в которой находится элемент, и номера столбца. Таким образом, номер элемента определяется пересечением строки и столбца. Например, a₁₂ - это элемент, стоящий в первой строке и во втором столбце.

Существуют несколько способов объявления двумерного массива.

Способ 1. В Паскале двумерный массив можно описать как одномерный, элементами которого являются одномерные массивы. Например, для матрицы А, приведённой выше:

Const n = 2; m = 3;
Type omyarray = Array[1..m] Of <тип элементов >;
dmyarray = Array[1..n] Of omyarray;
Var v : omyarray;
a : dmyarray;

В данном случае переменная v объявлена как одномерный массив из трёх элементов вещественного типа. Переменная а описана как двумерный массив из двух строк, каждую из которых включено по три элемента.

Способ 2. Описание массива А можно сократить, исключив определение типа omyarray в определении типа dmyarray:

Const n = 2; m = 3;
Type dmyarray = Array[1..n, 1..m] Of <тип элементов>;
Vara : dmyarray.

Способ 3. Ещё более краткое описание массива А можно получить, указывая имя массива и диапазоны изменения индексов для каждой размерности массива:

Const n = 2; m = 3;
Type dmyarray = Array[1..n, 1..m] Of <тип элементов >;

Var a : dmyarray.

Если указанный тип используется для определения одного массива в программе, то удобно объявление массива в разделе описания переменных:

Var a: Array [1..n, 1..m] Of < тип элементов >.

Рассмотренные выше методы решения задач обработки одномерных массивов могут применяться для обработки двумерных массивов. Поскольку положение элемента в двумерном массиве описывается двумя индексами [первый - номер строки, второй - номер столбца], программы большинства матричных задач строятся на основе вложенных циклов. Обычно внешний цикл работает по строкам матрицы, то есть с его помощью выбирается требуемая строка матрицы, а внутренний цикл - по столбцам матрицы, то есть здесь выбирается нужный элемент из выбранной уже строки. Для задания значений элементам массива могут быть использованы операторы присваивания и операторы ввода данных.

Пример 1

В приведённом ниже примере осуществляется ввод и вывод двумерного массива А размерностью 10*15. Формирование и вывод массива описаны в виде двух процедур, которые вызываются последовательно из основной программы. Надо заметить, что формирование двумерного массива можно осуществлять всеми тремя способами, описанными для одномерных массивов, то есть: ввод с клавиатуры, через генератор случайных чисел или с помощью файла. Пусть в нашем примере элементы задаются генератором случайных чисел.

Program Example_45;
Const n = 2; m = 15;
Type dmyarray = Array[1..n., 1..m] Of Integer;
Var A : dmyarray;

Procedure Init(Var x: dmyarray); {процедура формирования массива}
Var i, j : Integer;
Begin
For i:=1 To n Do
For j:=1 To m Do
x[i,j]:=-25+Random(51);
End;

Procedure Print(x: dmyarray); {процедура вывода массива на экран}
Var i, j : Integer;
Begin
For i:=1 To n Do
Begin {ввод i-ой строки массива}
For j:=1 To n Do Write(x[i,j]:5);
Writeln; {переход на начало следующей строки}
End;

Begin{основная программа}
Init(A); {вызов процедуры формирования массива}
Writeln('Массив А:');
Print(A); {вызов процедуры вывода}
Readln;
End.

При решении задач с двумерными массивами можно выделить несколько видов задач.

Найти сумму элементов

Можно найти сумму всех элементов, можно только некоторых, которые удовлетворяют данному условию. Но мы рассмотрим более сложный пример.

Пример 2

Сформировать одномерный массив, каждый элемент которого равен сумме отрицательных элементов соответствующей строки заданной целочисленной матрицы.

Решение

Опишем одномерный массив, размерность которого равна количеству строк в двумерном массиве.

Const n = 10; m = 15;
Type omyarray = Array[1..n] Of Integer;
dmyarray = Array[1..n, 1..m] Of Integer
Var B : omyarray;
A : dmyarray;

Формирование одномерного массива по заданному правилу опишем в виде процедуры. Ей будем передавать два параметра - двумерный массив и одномерный, который является результатом. В теле процедуры будут использоваться вложенные циклы. Внешний цикл в ней определяет номер строки, который совпадает с номером элемента одномерного массива. Здесь же задаются начальные значения элементов одномерного массива, равные 0. Во внутреннем цикле анализируется каждый элемент выбранной строки, и если он отрицательный, то добавляется к сумме всех предыдущих отрицательных элементов выбранной строки матрицы.

Procedure Sum(x: dmyarray; Var y: omyarray);
Var i, j : Integer;
Begin
For i:=1 To n Do
Begin
y[i]:=0; {задание начальных значений элементов массива суммы}
For j:=1 To m Do{накопление суммы отрицательных}
If x[i,j]<0 Then y[i]+x[i,j];
End;
End;

В основной программе обращаемся к процедуре Sum(A,B) и остается только вывести на экран одномерный массив В, в котором записаны суммы отрицательных элементов каждой строки.

Нахождение количества элементов с данным свойством

Задачи на нахождение номеров элементов с заданными свойствами и на нахождение количества таких элементов во всём массиве останутся практически такими же. В них только добавится второй цикл или вывод двух индексов вместо одного.

Пример 3

Найти максимальный элемент массива и его индексы.

Решение

Так как элементы могут повторяться, то договоримся, что будем запоминать только индексы первого максимального элемента. Опишем процедуру, которой передаётся массив, и её результатом является значение максимального элемента и индексы первой встречи такого значения.

Procedure Maximum(x: dmyarray; Var max, maxi, maxj: Integer);
Var i,j: Integer;
Begin {начальные значения}
max:=x[1,1]; maxi:=1;maxj:=1;
For i:=1 To n Do
For j:=1 To m Do
If x[i,j]>max Then {присвоение новых значений}
Begin
max:=x[i,j];
maxi:=i;maxj:=j;
End;
End;

Пример 4

Найти количество отрицательных элементов в каждой строке.

Решение

Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.

Способ 1 - количество элементов каждой строки хранить в одномерном массиве соответствующей размерности. Тогда можно описать такую процедуру:

Procedure Q_1(x: dmyarray; Var y: omyarray);
Var i, j : Integer;
Begin
For i:=1 To n Do
Begin
y[i]:=0
For j:=1 To m Do
If x[i,j]<0 Then Inc(y[i]);
End;
End;

Способ 2 - использовать счётчик, находить количество элементов строки и выводить значение на экран. Тогда:

Procedure Q_2(x: dmyarray);
Var i, j, k : Integer;
Begin
For i:=1 To n Do
Begin
k:=0
For j:=1 To m Do
If x[i,j]<0 Then Inc(k);
Writeln(i,' - ',k); {вывод номера строки и количества заданных элементов}
End;
End;

Работа с несколькими массивами

Пример 5

Составить программу вычисления произведения двух квадратных целочисленных матриц А и В размером 5*5 соответственно. Элементы результирующей, также целочисленной, матрицы С (размером 5*5) определяются по формуле

c[i, j] =

где n - размерность матриц А и В.

Решение

Формирование матриц будем производить с помощью генератора случайных чисел, вычисление элементов результирующей матрицы С - с помощью вложенных циклов, где во внутреннем цикле (по параметру k) будет накапливаться сумма, определяющая элемент с[i,j].

Program Exampl_46;
Const n = 5;
Type dmyarray = Array[1..n, 1..n] Of Integer;
Var A, B, C : dmarray;

Procedure Init(Var x: dmyarray);

...

Procedure Print(x: dmyarray);

...

Procedure Mult(x,y: dmyarray; Var z: dmyarray);
Var k, i, j : Integer;
Begin
For i:=1 To n Do
For j:=1 To m Do
Begin
z[i,j]:=0;
For k:=1 To n Do z[i,j]:=z[i,j]+x[i,j]*y[k,j];
End;
End;

Begin {основная программа}
Writeln('массив А:'); Init(A); Print(A);
Writeln('массив В:'); Init(B); Print(B);
Mult(A, B, C);
Writeln('массив С:'); Print(c);
Readln;
End.

Определить, отвечает ли заданный массив некоторым требованиям

Пример 6

Определить, есть ли в данном массиве элемент, равный 0.

Решение

Опишем логическую функцию, значение которой равно истине, если такой элемент есть, и ложь - в противном случае. Самый простой способ - это просматривать элементы, и если найден искомый, то присвоить функции значение True, иначе - False.

Function Check1(x: dmyarray): Boolean;
Var i, j : Integer;
t: Boolean;
Begin
t:= true;
{предполагаем, что искомого элемента в массиве нет}
i:=1; {начальные значения}
While t And (i<=n) Do
Begin
j:=1;
While (j<=m) And (x[i,j]<>0) Do Inc(j);
t:=(j=m+1);
{определяем, найден ли искомый элемент, если просмотрена вся строка, то значение j=m+1 и t:= True, иначе элемент не найден и t:= False}
Inc(i);
End;
check1:=not t; {t=False, если элемент в массиве есть поэтому значению функции присваиваем not t}
End;

Пример 7

Определить, является ли данный квадратный массив симметричным относительно своей главной диагонали.

Решение

Если он является симметричным, то для него выполняется равенство a[i, j] = a[i, j] для всех i = 1,...,n и j = 1,...,n при условии, что i>j. Поэтому можно составить следующую функцию:

Function Check2(x: dmyarray): Boolean;
Var i, j : Integer;
t : Boolean;
Begin
t:= True; {предположим, что матрица симметрична}
i:=2;
While t And (i<n) Do
Begin
j:=1;
While (j<i) And (x[i,j]=x[j,i]) Do Inc(j);
t:=(j=i);
Inc(i);
End;
Check2:=t;
End;

Таким образом, если встретится хотя бы одна такая пара, что соответствующие элементы не будут равны, то значение функции будет ложь(false)