Так как пределы и числителя и знаменателя не существуют, нельзя применять теорему о пределе частного. Вынесем за скобки в числителе и знаменателе n в старшей степени:
Теперь можно произвести сокращения и легко получить ответ.
Вычислим этот предел средствами Mathcad:
Для того чтобы вычислить предел, щелкните по соответствующей позиции в панели, введите выражение и выделите его (с помощью клавиши <Space> на клавиатуре выделяем все выражение угловой рамкой)
Для того , чтобы в документ вставить значок ∞щелкаем по соответствующей кнопке в панели Calculus
Щелкните по в панелиSymbolic , а затем вне выделяющей рамки:
Пример2. Рассмотрим последовательность
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные:
Для того, чтобы произвести эти действия в Mathcad,надоввести выражение, выделить его угловой рамкой, а затем щелкнуть по строке Simplify (Упростить) меню Symbolics или по кнопке Simplify в панелиSymbolic:
Теперь можно произвести сокращения и легко получить ответ.
Вычислим этот предел средствами Mathcad :
Вычисления в Mathcad предела этой последовательности производятся аналогично 1-му примеру.
Пример3.Рассмотрим последовательность
Здесь мы имеем неопределенность типа бесконечность минус бесконечность. Преобразуем выражение, умножив и разделив на сумму таких же корней и упростим числитель:
Здесь знаменатель стремится к бесконечности, поэтому, очевидно, предел равен нулю.
Вычислим этот предел средствами Mathcad :
2. Сходимость числовых последовательностей
Последовательность {аn} - это функция, заданная на множестве натуральных чисел N = {1,2...}. Число а называется пределом последовательности {аn}, если для любого положительного числа ε , как бы мало оно ни было, существует такой номер N, что для всех аn c номерами n > N справедливо неравенство |an-a|<ε
Неравенство |an-a|<ε, эквивалентное неравенству а— ε <аn <а+ ε, означает, что для любого ε > О все аn c номерами n > N расположены между а— ε и а+ ε.
Последовательность, предел которой - число а, называется сходящейся,и ее предел обозначают lim an = а.
n→∞
Если изобразить элементы последовательности аn на плоскости точками с координатами (n, аn), то неравенства а— ε <аn <а+ ε означают, что все точки (n, аn) с номерами n > N расположены между прямыми а— ε и а+ ε , параллельными оси абсцисс .
Пример исследования сходящейся последовательности a(n)= и построение графика, иллюстрирующий процесс сходимости .
Порядок выполнения :
1. Щелкнем по свободному месту и введем в документ Mathcadпоследовательность:
Вычислим символьно предел последовательности:
Т.е. последовательность сходиться и предел последовательности равен 1.
2. Найдем такой номер N(ε), что при всех n>N(ε) справедливо неравенство
Для этого введем:
Выделим переменную n угловой рамкой и выберем команду Symbolics(Символьные вычисления)=>Variables(Переменная) => Solve(Решить уравнение)
3. Определим функцию N(ε)
4. Вычислим N(ε) при ε= 0.1, ε=0.01,ε=0.001:
N(0.1)=7.273
N(0.01)=69.661
N(0.001)=693.494
5. Найдем N(ε) графически:
Чтобы найти графически N(ε), надо воспользоваться операцией определения координат точки кривой. ( см. Лабораторную работу №2)
На графике видно, что члены последовательности с ростом n стремятся к 1 и при n>10 все они лежат в полосе (1-ε,1+ε). Т.е. для ε=0.1 искомое значение N(ε) = 10 графически.
Последовательность {аn}, предел которой равен нулю при n→∞ (lim аn=0),
n→∞
называется бесконечно малой .
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcadс исследованиеми графическим изображением бесконечно малой последовательности:
Последовательность {βn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа М, как бы велико оно ни было, существует такой номер N, что для всех βn c номерами n > N справедливо неравенство |βn |>M. Записывается это так: lim βn =∞ .
n→∞
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcadс исследованиеми графическим изображением бесконечно большой последовательности βn=7 ln(10n+1)
Задание к лабораторной работе №8:
Найдите пределы последовательностей {an},{bn},{cn}. Для указанных значений ε=10-kнайдите N(ε). Вычислите значения с мерами n > N(ε ) и сравните с ε. Для заданных значений M укажите такие значения N(M), чтобы для всех членов бесконечно большой последовательности {сn} с номерами n>N(M) выполнялось неравенство |сn| >М.
Изобразите графически сходящиеся последовательности и их пределы. Изобразите графически бесконечно большую последовательность.
Для того , чтобы в документ вставить значок ∞щелкаем по соответствующей кнопке в панели Calculus
Щелкните по в панелиSymbolic , а затем вне выделяющей рамки:
и построение графика, иллюстрирующий процесс сходимости .
Щелкнем по свободному месту и введем в документ Mathcadпоследовательность:
