Задача 1. Сжигание мостов.Генерал командует армией, которая защищает город, находящийся на берегу реки. Между городом и другим берегом реки проложен мост, по которому армия может при необходимости отступить.
Генерал имеет возможность уничтожить мост до того, как враг решится атаковать. Или не уничтожать мост.
После того, как враг наблюдает действия генерала, он выбирает один из двух вариантов: атаковать город или не атаковать.
Если враг напал, и мост не уничтожен, то генерал может выбрать один из двух вариантов: сражаться или отступить. Если враг напал, а мост был уничтожен, то у генерала есть только один вариант: сражаться.
Если сражения по той или иной причине не произошло, то выигрыш стороны, которая обладает городом по итогам игры, равен 10, а выигрыш другой стороны равен 5.
Если же сражение произошло, то генерал будет разбит и его выигрыш окажется равен 0. Выигрыш атакующих в этом случае будет равен 4, так как они, хоть и займут город, но понесут огромные невосполнимые потери.
(а) Представьте игру в развернутой форме (в виде графа).
(б) Найдите равновесие в рассматриваемой игре, используя метод обратной индукции. Будут в итоге ли сожжены мосты? Состоится ли сражение?
Задача 2. Выборы.Совет ЭМШ состоит из 4 членов: Ани, Вани, Сережи и Даши. Они договорились собраться вместе, чтобы решить, кто из них станет председателем совета. Даша прогуляла собрание, поэтому решение будут принимать Аня, Ваня и Сережа.
Предпочтения Ани могут быть описаны ее фразой: «Лучше всего, чтобы председателем стала я. Даша – это не столь удачный вариант, но тоже ничего. Сережа – еще хуже, чем Даша. Ваня – самый плохой кандидат на роль председателя».
Ваня считает лучшим кандидатом себя. Чуть более плохим вариантом – Дашу. Еще более плохим – Сережу. Ну а самым ужасным – Аню.
Сережа считает лучшим кандидатом себя. Чуть более плохим вариантом – Ваню. Еще более плохим – Аню. Ну а самым ужасным – прогульщицу Дашу.
Пусть процедура выбора устроена следующим образом. На листе бумаги написаны имена всех четырех кандидатов. Сначала Аня вычеркивает одно из имен. Затем Ваня вычеркивает одно из трех оставшихся. Наконец, Сережа вычеркивает одно имя из двух оставшихся. Тот кандидат, чье имя не будет вычеркнуто, станет председателем совета.
(а) Представьте игру в развернутой форме (в виде графа).
(б) Используя метод обратной индукции, найдите равновесие. Кого следует вычеркнуть Ане? Кто станет председателем?
Задача 3. Вход на рынок. В некоторой отрасли доминирует фирма-монополист F2. Новая фирма F1 рассматривает возможность входа на рынок.
Сначала фирма F1 принимает решение: входить на рынок (В) или не входить (НВ). После этого монополист, зная выбор новой фирмы, принимает решение уменьшить объем выпуска (У) или оставить его неизменным (Н).
В случае если F1 входит на рынок, а F2 сохраняет выпуск, F1 несет убыток равный 3, а F2 получает прибыль равную 6. В случае если F1 входит на рынок, а F2 сокращает выпуск, каждая фирма получает прибыль равную 7.
В случае если F1 не входит на рынок, а F2 сохраняет выпуск, F1 получает нулевую прибыль, а F2 получает прибыль равную 14. В случае если F1 не входит на рынок, а F2 сокращает выпуск, F1 получает нулевую прибыль, а F2 получает прибыль равную 8.
(а)Представьте игру в виде графа. (б)Найдите равновесие в рассматриваемой игре, используя метод обратной индукции. (в)Является ли равновесный исход игры эффективным по Парето?
Задача 4. Олигополисты.Две конкурирующие фирмы по очереди принимают решение об объеме выпуска. Каждая фирма имеет две возможные стратегии: большой объем выпуска или малый объем выпуска. Сначала решение принимает первая фирма. Затем, зная выбор первой фирмы, решение принимает вторая фирма. Дерево игры имеет следующий вид (в скобках указаны прибыли первой и второй фирмы):
Найдите равновесие в игре, используя принцип обратной индукции. Какой выпуск выберет первая фирма? Какой выпуск выберет вторая фирма? Будет ли равновесие эффективным по Парето?
Задача 5. Используя метод обратной индукции, найдите равновесие в следующей игре:
