Пусть имеются Vn; q1,q2,…,qn (1)
q’1, q’2,…,q’n (2)
q’1=t11q1+t12q2+…+tn1qn
q’2=t12q1+t22q2+…+tn2qn (3)
q’n=t1nq1+t2nq2+…+tnnqn
(4)-матрица перехода от базиса q к базису q’
Столбцы и строки линейно не зависимы. Можно показать, что матрица перехода q’=>q = T^(-1)
Базисы в пространстве V: q1,q2,…,qn и q’1, q’2,…,q’n
Т = (q’1 q’2 … q’n)
x€Vn: x=x1q1+x2q2+…+xnqn (5)-по первому базису
x=x’1q’1+x’2q’2+…+x’nq’n (6)-по второму базису
X= (t11q1+t12q2+…+t1nqn)*q1+
+( t12q1+t22q2+…+t2nqn)*q2+ (7)
+( t1nq1+t2nq2+…+tnnqn)*qn
По теореме об однородности разложения вектора по базису их координаты должны быть равны.
X1= t11x’1+t12x’2+…+t1nx’n
X2=t21x’1+t22x’2+…+t2nx’n (8)
X3=tn1x’1+tn2x’2+…+tnnx’n
X=T*X’ (9)T- матрица перехода от базиса е к е’(невыражденная)
T^(-1)*X=T^(-1)*T*X’
X’=T^(-1)*X (10)T^(-1) – матрица перехода от е’ к е
Подпространство линейного пространства – это непустое подмножество U множества V, если:
1.Для любых x, y € U, x+y=U
2. Для любого х € V; α € R; αx € U
Линейная оболочка, натянутая на векторы а1, а2,…,аn –множество элементов α1а1+α2а2+…+αkak € V, где коэффициенты независимо друг от друга принимают все возможные значения. Линейная оболочка является подпространством V.
Размерность линейной оболочки =max числу лин. незав. векторов, которые её образуют.
