Применение преобразования Лапласа к решению функциональных уравнений.

Решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

(6)

Пусть требуется решить задачу Коши, т.е. найти решение дифференциального уравнения (6) с заданными начальными условиями:

x(0)=x₀, x’(0)=x₁,…x⁽ⁿ^-1)(0)=x_n_-1, (7)

где x₁…x_n_-1- заданные числа.

Предположим, что функции f(t) является оригиналом. Будем искать функцию x(t) решения задачи (6)-(7), предполагая, что x(t) тоже оригинал. Тогда обозначим x(t) X(p), f(t) F(p) и применим преобразование Лапласа к уравнению (6), используя свойство линейности и теорему о дифференцировании оригинала. Получим:

Это алгебраическое уравнение относительно искомого изображения X(p). Оно называется операторным уравнением. Перепишем его следующим образом:

[

Обозначим через A_n(p) известный многочлен, стоящий перед множителем X(p) , а через оставшийся многочлен в левой части, тогда это уравнение примет вид:

Откуда находим, что

X(p)= .

Это решение операторного уравнения. Многочлен называется характеристическим многочленом уравнения (6). Теперь необходимо для найденного изображения X(p) найти соответствующий ему оригинал x(t). Это можно сделать, пользуясь теоремами разложения и таблицей соответствия оригиналов и изображений.

Если решается задача Коши с нулевыми начальными условиями x₀=x₁=…=x_n_-1=0, то многочлен будет следующим:

называют передаточной функцией и записывают .

Замечание 1.Операторным методом можно решать и системы линейных дифференциальных уравнений. При этом преобразование Лапласа применяется ко всем уравнениям системы, а в результате получается алгебраическая система линейных уравнений относительно искомых изображений. Она решается алгебраически, а затем по известным изображениям восстанавливают оригинал, т.е. решение системы дифференциальных уравнений.

Замечание 2.Операторный метод имеет преимущество, по сравнению с классическими методами как более формальный, кроме того он позволяет решать уравнения с более сложными правыми частями, в частности с кусочно-непрерывными функциями.

Применение формулы Дюамеля для решения задачи Коши.Пусть требуется решить

[ X(p)=F(p).

Тогда операторное уравнение будет иметь вид:

A_n(p)X(p)=F(p) . (8)

Предположим, что нам известно решение уравнения (6) с правой части f(t)=1 и нулевыми начальными условиями, т.е. уравнения

(9)

Пусть решение этого уравнения, а изображение для такого оригинала обозначим

. (10)

Из равенств (8) и (10) выразим многочлен получим:

Теперь для последнего равенства формулой воспользуемся Дюамеля:

Т.о. решение задачи Коши с нулевыми начальными условиями и правой частью f(t) ищется как решения такого же уравнения с правой частью f(t)=1, а затем выполняется подстановка в формулу Дюамеля с последующим вычислением интеграла.

ПРИМЕР!!!!!

Решение интегральных уравнений Вольтера типа свертки.Интегральным уравнением называется функциональное уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. Например,

интегральное уравнение Вольтера первого рода;

x(t)- второго рода. Здесь x(t)-искомая функция, ядро уравнения, числовой параметр и известная функция. В случае, когда ядро записанные выше уравнения называются интегральными уравнениями Вольтера соответственно первого и второго рода типа свертки.