Теоремы операционного исчисления.

Теорема 4. (Теорема подобия) Пусть f(t)- оригинал, а F(p) его изображение т.е. f(t) F(p) в области Rep>s₀, тогда для функции f( изображением будет являться

□ По определению, имеем

■

Теорема 5.(смешения изображения) Пусть f(t) оригинал, F(p) его изображение, тогда

□ Доказать самостоятельно.

Пример 3.

Теорема 6.(запаздывания оригинала)Пусть f(t)- оригинал, а F(p) его изображение, т.е. f(t) F(p), Re p>s₀, тогда

□ ■

Пример 4.Найти изображение единичного импульса длительностью 𝜏.

f(t)=

По теореме и в силу линейности имеем:

.

Теорема 7.(опережения оригинала) Пусть f(t) оригинал, F(p) его изображение, т.е. f(t) F(p), Re p>s₀, тогда

f(t+ .

Доказать самостоятельно.

Теорема 8.(дифференцирование оригинала) Пусть f(t) оригинал, а F(p) его изображение, причем производная f’(t) также является оригиналом. Тогда справедлива формула:

f’(t) pF(p)-f(0), Re p>s₀

□

■

Следствие.Если производные f’(t), f’’(t)…f^(n-1) (t) являются оригиналами с показателем роста s₀, то справедлива формула :

.

Доказывается следствие методом математической индукции.

Теорема 9.(дифференцирование изображения) Пусть f(t) оригинал, и F(p) его изображение при Re p>s₀, то дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на (-t), т.е.

□ Интеграл Лапласа есть аналитическая функция полуплоскости Re p>s₀, тогда, согласно теореме о дифференцировании интеграла по параметру, имеем:

. ■

Теорема 10.(интегрирование оригинала) Пусть f(t) оригинал, F(p) его изображение при Re p>s₀, тогда функция g(t)= также является оригиналом, причем интегрированию оригинала соответствует деление изображения на р, т.е. справедлива формула

□ Функция g(t) действительно является оригиналом, поскольку первые два условия очевидны, а третье вытекает из неравенства

Обозначим искомое изображение Ф(р), т.е. Ф(р) g(t). По теореме о дифференцировании оригинала, учитывая, что g(0)=0 имеем:

F(p) f(t) = (р).

Из правых частей последних равенств следует Ф(р)= ■

Теорема 11.(интегрирование изображения) Пусть f(t) оригинал, F(p) его изображение, т.е. f(t)=F(p) Re p>s₀. Тогда, если функция является оригиналом, то интегрированию изображения соответствует деление оригинала на t, т.е.

□ Обозначим По теореме о дифференцировании изображения кроме того Тогда =

Восстановим F(p) через Ф. Т.к. (теорема 1), то

Из последнего равенства следует справедливость теоремы. ■

Пример 5.Найти изображение для функции f(t)=tⁿ, n- целое число.

Известно, что По теореме о дифференцировании изображения можно записать, что

tⁿ

Пример 6.Найти изображение функции

Пусть g(t)=sin2t . Воспользуемся теоремой об интегрировании изображения

В различных приложениях, например при построении фильтров,в вопросах вычисления функций распределения случайных величин, автокорреляционных функций, при кодировании и сжатии информации, используется понятие свертки.

Определение 2.Сверткой функций и (t), 0≤t<+∞, обозначаемой ( ) называется интеграл

.

Это определение не зависит от порядка функций, стоящих под знаком интеграла. Действительно,

Это означает, что свертка функций симметрична или коммутативна.

Теорема 12.(Борель 1871-1956, теорема умножения изображений) Пусть f₁(t) F₁(p) при f₂(t) F₂(p) при то изображением свертки ( ) является произведение изображений F₁(p) и F₂(p),т.е. справедлива формула

.

□ Во-первых, отметим, что свертка является оригиналом. Действительно, первые два свойства оригинала очевидны, а третье легко следует из оценки модуля свертки (самостоятельно). Теперь запишем свертку двух функций:

Это двойной интеграл по неограниченной области:

Изменяя порядок интегрирования, продолжая получаем:

■

Теорема 13. (Ж.-М. Дюамель 1797-1872) Пусть f₁(t) F₁(p), f₂(t) F₂(p) при , соответственно, тогда справедлива следующая формула, которая называется интегралом Дюамеля:

□ Запишем следующие формулы:

,

По свойству изображения производной справедливы соотношения

Применяя теперь свойство линейности и теорему Бореля оригинал выражения можно представить в виде:

Учитывая симметричность свертки, оригинал выражения можно также записать в виде:

■

Вспомним, что преобразованием Фурье называется следующее преобразование:

а сам интеграл называется интегралом Фурье.

Теорема 14. (связь между преобразованиями Фурье и Лапласа) Пусть f(t) оригинал, F[f(t)] его преобразование Фурье, L[f(t)] его преобразование Лапласа, то справедлива формула:

.

□ ■