Преобразования Лапласа и его свойства.

ГЛАВА 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Еще в XlX веке ряд ученых занимались так называемым символическим исчислением, в основе которого лежат формальные операции над символом Например, положительная степень n числа p обозначает n- производную функции

а отрицательная степень - интеграл

Популяризации символического исчисления способствовал инженер- электрик О.Хевисайд (1850-1925 англ.), применивший его в электротехнике. Лишь в первой половине XX века метод получил математическое обоснование и стал называться операционным методом. Идея его состоит в следующем: операции дифференцирования и интегрирования заменяются алгебраическими операциями, дифференциальные уравнения- алгебраическими уравнениями. Далее находят решения этих алгебраических уравнений, по которым восстанавливаются решения исходных дифференциальных уравнений.

Будем рассматривать функции f(t) действительной переменной t, определенные на всей действительной оси и удовлетворяющие следующим условиям:

1) f(t)≡0, при t<0;

2) f(t) имеет конечное число точек разрыва первого рода при t≥0 на любом конечном интервале действительной оси t;

3) f(t) имеет ограниченную степень роста при t→+∞, т.е.

Точная нижняя грань чисел s, для которых имеет место неравенство, т.е. величина s₀ =inf s называется показателем роста функции f(t). Заметим, что если в точке t=0 есть разрыв первого рода, то значением f(t) в этой точке по определению является .

Определение 1.Преобразованием Лапласа функции f(t) действительной переменной t называется преобразование, ставящее в соответствие функции f(t) функцию F(p) комплексной переменной p, определенную с помощью интеграла Лапласа:

(1)

Если f(t) удовлетворяет перечисленным выше условиям 1-3, то функция F(p), определенная равенством (1). называется изображением функции f(t), а сама функция f(t) называется оригиналом соответственно функции F(p), и такую связь принято обозначать

f(t) f(t)

Отметим, что интеграл (1) является несобственным, причем областью его сходимости является совокупность тех комплексных чисел р, для которых интеграл имеет смысл. Определим характер сходимости интеграла Лапласа (П.С.Лаплас 1749-1827 фран.)

Теорема 1.Интеграл Лапласа (1) сходится равномерно в полуплоскости

x=Re p≥x₀>s₀, где s₀ - показатель роста оригинала F(p), причем

□ Оценим интеграл (1) по модулю. Пусть p=x+iy, x> s₀ .

=

при x=Re p≥x₀>s_0.

Т.о. получили, что интеграл Лапласа ограничен, и из последнего неравенства следует, что при x=Rep→+∞ F(p)→0, а это означает равномерную сходимость интеграла Лапласа. ■

Теорема 2.Изображение F(p) функции f(t) является аналитической функцией комплексной переменной p в полуплоскости x=Re p>s₀ , где s₀- показатель роста оригинала.

□ По теореме 1, интеграл (1) сходится равномерно для x=Re p>s₀. Разобьем интервал интегрирования 0<t<+∞ на отрезке конечной длины [t_n,t_n+1] набором точек 0=t₀<t₁<t₂<…<+∞, где t_n→∞ при n→∞ .На каждом таком отрезке функция f(t) непрерывна и поэтому можно записать

Последний ряд сходится равномерно вместе с интегралом. Но каждая из функций является аналитической в области x=Re p>s₀. и представляет собой интеграл, зависящий от параметра p. Согласно теоремы 7 гл.2 о дифференцировании интеграла по параметру, члены ряда, функции является аналитическими функциями, а т.к. ряд сходится равномерно, то по теореме Вейерштрасса аналитической в этой области будет и сумма ряда F(p). ■

Теорема 3(Линейность) Пусть F₁(p f₁(t) и f₂(t) F₂(p) тогда для оригинала C₁f₁(t)+C₂f₂(t) C₁F₁(p)+C₂F₂(p), где C_1,C₂- комплексные числа.

□ Справедливость теоремы следует из свойства линейности несобственных интегралов. ■

Пример 1.Найти изображение единичной функции Хевисайда

Замечание.Если функция f(t) удовлетворяет свойствам 2-3 оригинала, то функция f(t) будет удовлетворять свойству 1 и является оригиналом. В дальнейшем для простоты множитель будем опускать.

Пример 2.Найти изображения функций tⁿ

При Rep> -любое комплексное число.

Учитывая, что cosz= пользуясь свойством линейности, получим

.

Аналогично,

.

Изображение функции tⁿ получается после n- кратного интегрирования по частям:

Имеет место таблица перевода функций оригиналов в изображения и наоборот.