Оценка качества регулирования САР с запаздыванием

Для САР с запаздыванием используются такие же оценки качества регулирования, что и для САР без запаздывания, которые приведены в методических указаниях [5]. Отличие состоит только в определении времени регулирования и интегральных оценок качества регулирования.

Кривые переходного процесса для САР без запаздывания (кривая 1) и с запаздыванием (кривая 2) приведены на рисунке 7, где , – соответственно время регулирования для САР без запаздывания и с запаздыванием.

y(t) 1 2

y(¥)

Рисунок 7 – Кривые переходного процесса для САР
с запаздыванием и без запаздывания

Как видно из графиков на рисунке 7, время регулирования для САР с запаздыванием

. (14)

Интегральная оценка для САР c запаздыванием определяется в соответствии со схемой на рисунке 8.

y(t)

II I

y(¥)

t

t

Рисунок 8 – Схема определения интегральной оценки
для САР с запаздыванием

В отличие от САР без запаздывания, для которой интегральная оценка определяется выражением

(15)

и равна площади криволинейной трапеции I, для САР с запаздыванием

, (16)

где первое слагаемое характеризует площадь прямоугольника, ограниченного временем чистого запаздывания t.

3 ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
САР С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

3.1 Анализ устойчивости САР с запаздыванием
по критерию Михайлова и построение области устойчивости

Пусть САР с запаздыванием задана структурной схемой, приведенной на рисунке 9, где k₁ = 0,5; k₂ = 1; T₁ = 2; T₂ = 4;
t = 0,5.

Рисунок 9 – Пример САР с запаздыванием

ПФ разомкнутой части САР:

, (17)

а ПФ самой САР:

. (18)

Тогда характеристическое уравнение САР с запаздыванием имеет вид

. (19)

Заменив в выражении (19) p на jw, получим уравнение вида

. (20)

Тогда вещественная и мнимая части выражения (20) определяются уравнениями:

. (21)

Подставив значения коэффициентов в уравнения (21),
имеем:

. (22)

Для оценки устойчивости САР с запаздыванием по критерию Михайлова произведены расчёты по уравнениям (22). Результаты расчета приведены в таблице 1, а годограф Михайлова – на рисунке 10.

Таблица 1 – Результаты расчета по критерию Михайлова

Годограф Михайлова, приведенный на рисунке 10, показывает, что САР с запаздыванием устойчива.

САР находится на границе устойчивости в соответствии с условиями (10), если вещественная и мнимая части (21) равны 0, т. е.

. (23)

Рисунок 10 – Годограф Михайлова для САР с запаздыванием

Для построения области устойчивости в области заданного параметра t= 0,5 и в координатах k₂ и Т₂ подставим в выражения (23) значения k₁, Т₁ и t. В итоге имеем систему уравнений:

. (24)

Для решения системы уравнений (24) разрешим каждое уравнение относительно k₂:

- из первого уравнения

k₂ = ; (25)

- из второго уравнения

k₂ = . (26)

Приравняем выражения (25) и (26):

= .

Тогда имеем, что

.

После преобразования имеем

.

В итоге получим, что

Т₂ . (27)

Результаты расчета по выражениям (25) и (27) приведены в таблице 2, а граница области устойчивости – на рисунке 11.

Таблица 2 – Значение параметров k₂ и Т₂

Рисунок 11 – Построение области устойчивости
для САР с запаздыванием

3.2 Анализ устойчивости САР с запаздыванием
по критерию Найквиста и определение
критического времени запаздывания

Для оценки устойчивости САР с запаздыванием по критерию Найквиста предварительно строится годограф Найквиста для САР без запаздывания. Передаточная функция разомкнутой части САР без запаздывания в соответствии с выражением (17) имеет вид

W₀(p) = . (28)

Раскрыв скобки в знаменателе и подставив значения коэффициентов, имеем, что

W₀(p) = . (29)

Заменив р на jw получим, что

W₀(jw) = . (30)

Тогда

(31)

Результаты расчета значений годографа Найквиста для САР без запаздывания приведены в таблице 3, а сам годограф – на рисунке 12.

Таблица 3 – Значения годографа Найквиста для САР

без запаздывания

Для построения годографа Найквиста для САР с запаздыванием необходимо найти углы поворота w_itпри каждой частоте, используемой для построения годографа Найквиста. Значения углов поворота приведены в таблице 4, а годограф Найквиста для САР с запаздыванием приведён на рисунке 12.

Таблица 4 – Значения углов поворота

Рисунок 12 – Годограф Найквиста для САР с запаздыванием

и без запаздывания

Критическое время запаздывания t_кр определяется в соответствии с выражениями (11) и (12), с учётом условия, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

А_p(w) = А₀(w) = 1, (32)

так как наличие звена чистого запаздывания не меняет амплитуду. Частота w₀, при которой АЧХ равна 1, находится из условия (32). Тогда для рассматриваемой САР имеем

. (33)

Выражение (33) можно преобразовать в выражение вида

(34)

или

.

Подставив в (34) значения коэффициентов, имеем, что

. (35)

Из выражения (35) необходимо найти частоту w₀, при которой АЧХ равна 1. Значение w₀ находится методом последовательного приближения, так как непосредственное нахождение корней уравнений (35) является достаточно сложной задачей. Результаты поиска значения w₀ приведены в таблице 5, где знак > указывает превышение, а знак < непревышение значения 0,25. В итоге получено, что с точностью 0,15 %

w₀ = 0,2857.

Таблица 5 – Таблица значений поиска частоты

Определим значение j₀ (w₀).

При w₀ = 0,2857.

P₀(w₀) = – 0,98, a Q₀(w₀) = – 0,20.

Тогда .

Итак .

В итоге ,

т. е. t_кр= 11,69 с.