Понятие матрицы

Основы линейной алгебры

Одной из основных задач линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений. К таким системам сводятся многие задачи математического моделирования физических и технологических процессов при их дискретизации, т.е. представления соответствующих дифференциальных уравнений через конечные разности или конечные элементы. Используя алгебру матриц, система линейных алгебраических уравнений представляется в наиболее простой и компактной форме

А X = B, (2.1)

где А – матрица коэффициентов системы уравнений (основная матрица), X – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. Поэтому удобно проводить исследование решений системы (2.1), используя язык матриц. Рассмотрим элементы алгебры матриц.

Понятие матрицы

Определение 2.1.Матрицейназывается прямоугольная таблица из n × m чисел, которая содержит m строк и n столбцов.

Обозначения: или . (2.2)

Либо кратко [а _ij ] ( i = 1,2,…,n ; j = 1,2,..,m ). В этом случае имеется в виду, что матрица имеет размерность n × m . Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, Е, ... Числа a_ij называются элементамиматрицы, где первый индекс i означает номер строки, а второй j - номер столбца.

Если в квадратной матрице все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные равны нулю, то её называют единичной матрицей.Она обозначается буквой Е и имеет вид

. (2.3)

Определение 2.2.Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов и соответствующие элементы которых совпадают.

Матрица, в которой все элементы равны нулю, называется нуль-матрицей или нулевой.Её обозначают буквой О.

Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца называется матрицей-столбцом.

Если в матрице А поменять строки на столбцы, а столбцы – на соот-ветствующие строки, то полученную матрицу называют транспонированнойи обозначают А^T.