Интегрирование рациональных функций.

Определение 1. Рациональной функцией (рациональной дробью) от одной переменной называется функция, представляющая собой отношение двух многочленов от одной переменной следующего вида:

. (1)

Областью определения рациональной функции (1) является множество .

Определение 2. Рациональная функция называется правильной, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, т.е. , и неправильной в противном случае, т.е. при .

В курсе алгебры доказывается теорема о делении многочлена на многочлен с остатком:

(2)

В формуле (2) многочлены называются так:

- делимое, - делитель, - неполное частное, - остаток.

Из этой теоремы следует, что любую неправильную рациональную дробь вида (1) можно представить в виде суммы многочлена степени и правильной рациональной дроби:

.

Отсюда следует, что вопрос об интегрировании неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби . Для того, чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь, необходимо представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей следующих типов:

.

Дроби 1 и 2 типа интегрируется элементарно при помощи подстановки :

, .

Для вычисления интеграла 3 типа представим квадратный трехчлен в виде , где , и введем постоянную . Сделав замену , будем иметь

Для вычисления интеграла 4 типа используем введенные для нахождения интеграла 3 типа обозначения и подстановки :

Первый интеграл вычисляется с помощью замены , а второй по рекуррентной формуле, выведенной в примере 5.

Рассмотрим вопрос о представлении правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей.

Теорема 1. Пусть - правильная рациональная дробь, причем число b является корнем кратности s знаменателя этой дроби, т.е. . Тогда для этой дроби справедливо следующее представление:

, (3)

где А – некоторая постоянная , равная , а - некоторый многочлен такой, что последняя дробь в правой части равенства (3) является правильной.

Теорема 2. Пусть - правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет комплексные числа корнями кратности s, т.е. , . Тогда для этой дроби справедливо следующее представление:

, (4)

где M и N – некоторые постоянные, , - некоторый многочлен такой, что последняя дробь в правой части формулы (4) является правильной.

Последовательное применение теорем 1 и 2 к правильной рациональной дроби по всем корням знаменателя приводит к следующему утверждению.

Теорема 3. Пусть - правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет вид . Тогда для этой дроби справедливо разложение на сумму простейших дробей:

, (5)

где .

Замечание. Для конкретного определения только что указанных постоянных следует привести равенство (5) к общему знаменателю и после этого сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x в числителе.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Разложим на сумму простейших правильную дробь . Так как квадратный трехчлен в знаменателе дроби имеет отрицательный дискриминант, то будем искать разложение этой дроби на сумму простейших в следующем виде:

Сравнивая в числителях коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений

Решая эту систему, находим: . Таким образом

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Ищем разложение дроби в виде

Сравнивая коэффициенты, получим систему уравнений:

Решая эту систему, находим .

Замечание. Метод неопределенных коэффициентов, примененный в примерах 1 и 2, является достаточно громоздким. Согласно теореме 1, коэффициент A в слагаемом можно найти так называемым методом вычеркивания:

для вычисления коэффициента A в указанном слагаемом следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку и в оставшемся выражении положить . Это следует из формул теоремы 1.

Отметим, что указанный метод применим только для вычисления коэффициентов при старших степенях простейших дробей, соответствующих действительным корням многочлена .

Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаменатель имеет лишь однократные действительные корни, т.е. . Для вычисления коэффициента следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку и в оставшемся выражении положить .

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение.

.

В дальнейшем важную роль будет играть рациональная функция от двух аргументов, в отношении которой справедливо следующее тривиальное утверждение:

Если - рациональная функция от двух аргументов x и y, а - три произвольные рациональные функции от одной переменной t, то выражение вида

(*)

представляет собой рациональную функцию от одной переменной.

1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Для вычисления интеграла от функции вида

(1)

при используется подстановка , позволяющая его рационализировать.

В самом деле, , , ,

так что

. (2)

Если положить

, , ,

то в правой части (2) мы получим интеграл от выражения вида (*), который представляет собой интеграл от рациональной функции аргумента t. Тем самым доказано, что интеграл от дробно-линейной иррациональности (1) рационализируется подстановкой .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Сделав подстановку , , , , и, учитывая, что , получим .

1. Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Функцию вида будем называть квадратичной иррациональностью. При этом предполагается, что .

Докажем, что интеграл от такой функции всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера.

1) . Применяем первую подстановку Эйлера:

(1)

Возводя в квадрат обе части равенства , получим , так что , , .

Таким образом, . (2)

Под знаком интеграла в правой части (2) стоит выражение вида (*) при , , . Таким образом, в правой части (2) мы получаем интеграл от рациональной дроби.

2)