ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Лектор – доцент Воробьев О.Е.

_____________________________________________________________________________

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Понятие первообразной функции.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I, если в любой точке x интервала I функция F(x) дифференцируема и имеет производную , равную , т.е.

. (1)

Если - первообразная для функции на промежутке I, то, очевидно, и функция , где С – произвольная постоянная, также является первообразной для функции на промежутке I.

Теорема 1.Если и - любые первообразные для функции на промежутке I, то , где С – некоторая постоянная.

Следствие. Если - одна из первообразных функций для функции на промежутке I, то любая первообразная для функции на промежутке I имеет вид , где С – некоторая постоянная.

1. Неопределенный интеграл.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для данной функции на промежутке I называется неопределенным интеграломот функциии обозначается символом

.

В этом обозначении выражение называется подынтегральным выражением, а сама функция - подынтегральной функцией.

Если - одна из первообразных для функции , то в силу следствия из теоремы 1 выполняется равенство

, (2)

где С – любая постоянная.

Замечание 1. Выражение (2) следует рассматривать как равенство двух множеств.

Замечание 2. Если первообразная для функции на промежутке I существует, то подынтегральное выражение в формуле (2) представляет собой дифференциал любой из этих первообразных.

1. Основные свойства неопределенного интеграла.

1) .

2) .

3) .

1. Таблица основных неопределенных интегралов.

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

?) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

17) .

18) .

1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой).

Пусть функция определена и дифференцируема на промежутке I и пусть - множество значений этой функции. Если для функции на множестве существует первообразная , т.е. , то на промежутке для функции существует первообразная, равная ,т.е.

. (3)

Доказательство. Согласно правилу дифференцирования сложной функции справедлива формула:

,

а по определению первообразной . Поэтому , или .

Формула (3) называется формулой интегрирования заменой переменной.

Иногда бывает целесообразно при вычислении интеграла перейти к новой переменной. Если - строго монотонная и дифференцируемая на промежутке функция, то она имеет обратную функцию . Преобразуя подынтегральное выражение, получим: , где . Пусть - первообразная для функции , тогда

. (4)

Формула (4) называется формулой интегрирования подстановкой.

Из формулы (4) следуют 3 важных частных случая:

1) ;

2) ;

3) .

1. Таблица неопределенных интегралов (продолжение).

10) .

11) .

12-13) .

14) .

19) Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция определена на отрезке . Положим , тогда , , т.к. . Следовательно,

.

Так как

, то

.

1. Метод интегрирования по частям.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на промежутке . Тогда функция также имеет непрерывную производную на и, согласно правилу дифференцирования произведения, выполняется равенство

.

Интегрируя это равенство и учитывая, что

,

получаем

.

Относя произвольную постоянную С к интегралу в правой части последнего равенства, получим

,

или

. (5)

Формула (5) называется формулой интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла .

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. Вычислить интеграл. .

Решение:

.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение:

Пусть . Тогда . По формуле (5) получаем:

Следовательно:

,

откуда .

Замечание 1. Так как

,

то из полученной в примере 4 рекуррентной формулы следует, что

.

Замечание 2. Повторное применение формулы (5) позволяет получить обобщенную формулу интегрирования по частям:

, (6)

в предположении, что функции непрерывно дифференцируемы до (n+1) порядка включительно.

При n=1 формула (6) принимает вид:

(7)

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. Полагая и учитывая, что , получаем по формуле (7)

.

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда . По формуле (7) находим , откуда .