Теорема. Если ∫ f(u)du = F(u) + C и u = φ(x) – любая дифференцируемая функция от x, то
Доказательство. (F(φ(x)) + C)′ = F′(φ(x))∙φ′(x) = f(φ(x))∙φ′(x), т.к. F′(x) = f(x).
Следствие. Если ∫f(x)dx = F(x) + C, то ∫ f(kx)dx = 1/k F(kx) + C,
∫ f(kx + b)dx = 1/k F(kx + b) + C.
Эта теорема позволяет расширить возможности таблицы основных интегралов. В этой таблице под u можно понимать любую функцию х.
П р и м е р ы .