Понятие неопределенного интеграла и его свойства.

Неопределенный интеграл.

Введение

Данные методические указания ставят своей целью оказать существенную помощь студенту в овладении техникой интегрирования.

Рекомендации состоят из 8 параграфов. В них излагаются методы решения типовых задач интегрального исчисления, приводятся подробные решения примеров и пояснения к этим решениям. В конце параграфа предлагаются упражнения для самостоятельной работы.

Понятие неопределенного интеграла и его свойства.

Первообразной функцией для функции называется такая функция , производная которой равна данной функции, то есть .

Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на промежутке ,отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство. В самом деле, пусть - некоторая

функция, определенная на промежутке [a;b] ,и ее первообразные, т.е. . Отсюда

Но если две функции имеют одинаковые производные, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Следовательно,

где - постоянная величина, что и требовалось доказать.

Основное свойство первообразных: если является первообразной функции на некотором промежутке, то все первообразные функции имеют вид , где С – постоянная.

Неопределенным интегралом от непрерывной функции называется множество всех ее первообразных. Неопределенный интеграл функции обозначается и, исходя из определения.

.

В этом равенстве называют подынтегральной функцией, выражение - подынтегральным выражением, переменную х – переменной интегрирования, а слагаемое С – постоянной интегрирования.