В этой части параграфа рассмотрим интегралы вида и . В этих интегралах удается избавиться от иррациональности с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок, после чего рационализировать интеграл подстановками, рассмотренными в предыдущем параграфе.
II.1
.
С тем же успехом можно взять и , .
II.2
a)
;
b)
.
II.3
a)
;
b)
.
Относительно интеграла необходимо сделать следующее замечание. Область определения радикала состоит из 2-х частей: . Рассмотренные выше замены справедливы лишь для . Для тригонометрическая замена та же, но и , а гиперболическая замена имеет вид . В случае четной или нечетной подынтегральной функции можно пользоваться соответствующими свойствами первообразных (см. §1) и не рассматривать отдельно случай .
Примеры.
3.
Если учесть, что , то ответ можно упростить
.
4. . Здесь тригонометрическая замена приведет к сложно-му интегралу , поэтому лучше применить гиперболическую подстановку: , , . Имеем
.
Здесь на последнем шаге использована формула для и выражение через логарифм.
5. .
Для сделаем замену , , тогда , , и получим
.
Подынтегральная функция – четная, а полученная первообразная нечетная, значит результат справедлив и для .