Теорема 1. Пусть известно, что . Тогда, если функция – непрерывно-дифференцируема, то
. (1)
Доказательство. Первое условие теоремы означает, что .
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим
,
что и доказывает (1).
Чтобы воспользоваться этой теоремой на практике, необходимо вычленить в подынтегральной функции производную некоторой функции, объединить эту производную с дифференциалом переменной интегрирования и сделать замену. После вычисления интеграла вернуться к исходной переменной интегрирования.
Примеры.
6.
.
Замечание 1. Замену такого типа можно производить и без подведения под знак дифференциала.
7.
.
8.
.
Сразу отметим здесь, что такой простой заменой не всегда удается избавить-
ся от иррациональности (попробуйте сами, заменив в числителе на ).
Замечание 2. Приведем две формулы, которые часто встречаются и их
лучше запомнить как табличные:
,
.