Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получимта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь ,

41.Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к

простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.

Формула интегрирования по частям следующая .

42.

43. Определенным интегралом от функции на называется предел интегральной суммы, построенной для функции на при неограниченном увеличении числа разбиений отрезка на части и при стягивание каждого участка разбиения в точку, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точки на каждой из этих частей.

Геометрический смысл: Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции

44.

45. Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:

46.

для отрицательной области.

47. Пусть требуется вычислить определенный интеграл от непрерывной функции. Если может быть найдена первообразная подынтегральной функции, то по формуле Ньютона — Лейбница

Если же первообразная не может быть найдена или если функция задана графически или таблично, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сделана сколь угодно большой.

Приближенные методы вычисления определенного интеграла в большинстве случаев основаны на том, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой сегментом оси и вертикальными прямыми проведенными через точки. Благодаря этому задача о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криволинейной трапеции.

Идея приближенного вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно «близкой» к ней кривой.

Тогда искомая площадь приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой.

В качестве этой новой ограничивающей кривой выбирают такую, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается просто. В зависимости от выбора новой кривой мы получим ту или иную приближенную формулу интегрирования.

48. Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных.

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Вот примеры ОДУ первого, второго порядка соответственно:

49.

Дифференциальное уравнение первого порядка называются неполными, если в нем не содержится (явно) или сама функция у, или независимая переменная х.

В том случае, когда правая часть дифференциального уравнения не содержит самой функции у, оно принимает вид:

или , или .

50. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида или .

Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx.