Методы интегрирования

Неопределенный интеграл

(доц. Зубков А.Н.)

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов

П. 1. В дифференциальном исчислении по данной функции , , находят ее производную или дифференциал . В интегральном исчислении решается обратная задача: зная производную или найти функцию . Например, если известна скорость , , движения тела, то требуется найти закон для пути , пройденный телом.

Функция называется первообразной для , , если .

Пример. 1. , , - первообразная для , , так как , .

2. , , - первообразная для , , так как ,

Теорема 1. Если - первообразная для функции , , то и , , - первообразная для , .

Обратно, всякая первообразная для , , может быть представлена в виде , .

●. Так как , то , , т.е. - первообразная для .

Обратно, если - любая первообразная для , , т.е. , , то . Отсюда и следствия из теоремы Лагранжа вытекает, что , , . ■

Определение. Множество всех первообразных функций для , , называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Итак,

.

Здесь называется подинтегральной функцией, - подинтегральным выражением, x - переменная интегрирования, ò - знак неопределенного интеграла.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой совокупность «параллельных друг другу кривых» вдоль оси Oy:

График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Нахождение первообразной для данной функции , , называется интегрированием функции .

Неопределенный интеграл существует не для всех , , так как не $, например, в точках разрыва для . Однако, если , то .

П. 2. Из определения неопределенного интеграла вытекает ряд его свойств:

1°. или , т.е. символы d и ò взаимно уничтожаются.

●. ■.

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство является верным, так как .

2°. , т.е. символы ò и d взаимно уничтожаются.

●. ■.

Линейные свойства неопределенного интеграла.

3°. , где .

●. , а ■.

4°.

●. , а

■.

5°. Инвариатность формулы интегрирования.

Если , то , где , имеющая непрерывную производную .

●. Рассмотрим сложную функцию . Тогда в силу инвариантности формы первого дифференциала функции имеем Þ

C ■.

Пример. . Здесь . Пусть . Тогда

Þ .

Замечание. Если , то Þ

.

Например,

.

П. 3. Так как интегрирование обратно дифференцированию, то из таблицы производных элементарных функций следует таблица основных интегралов.

1. , где . ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. .

Например, проверим 2) и 10):

2) .

10) .

Замечание. Как было отмечено ранее, операция дифференцирования не выводит функцию из класса элементарных. Иначе дело обстоит с операцией интегрирования: существуют интегралы от элементарных функций, которые не выражаются через элементарные функции. Их называют «неберущимися» в конечном виде и находят с помощью методов приближенных вычислений. Например, такими «неберущимися» интегралами являются

- интеграл Пуассона,

- интеграл Френеля,

- интегральный логарифм,

- интегральный синус.

Методы интегрирования

1°. Непосредственное интегрирование.

Оно основано на использовании свойств неопределенного интеграла и сведении интеграла к табличному виду с помощью преобразования дифференциала, например, , ; ; ; ; ; ; и т.д.

Примеры:

1) ;

2) ;

3) .

4) ;

5)

2°. Метод подстановки или замены переменной.

Пусть требуется найти . Сделаем подстановку , где . Тогда на основании инвариантности первой формы дифференциала имеем , и поэтому

.

Иногда используют подстановку вида . Тогда , т.е. приходим к выше указанной формуле.

Пример. 1) . Положим ® Þ

.

2) . Пусть ® , . Поэтому

.

3) . Положим ® , Þ

.

4) . Пусть ® , Þ

.

3°. Метод интегрирования по частям.

Если , , т.е. , то Þ

и потому

.

Этот метод применяется при вычислении интегралов вида:

1) , , , где p(x) - многочлен, . Здесь полагают , а - все остальные множители.

2) , , , , . Здесь полагают , за все остальные множители.

3) , , . Здесь .

Примеры. 1) Найти .

●. Пусть Þ

■.

2) .

3)

4)

§3. Интегрирование рациональных функций

П. 1. Интегрирование простейших рациональных дробей

I. .

II. .

Найдем J_K:

Найдем

Таким образом, , т.е.

(1)

Формула (1) называется рекуррентным соотношением. Зная J₁ последовательно из (1) находим J₂, J₃, …, J_k.

Примеры. 1) Найти

2) Найти .

Здесь , и, так как , то

Þ

.

П. 2. Интегрирование рациональных дробей

1. Если дробь неправильная, т.е. , то делением по правилу уголка представляем ее в виде суммы многочлена и правильной дроби: .

2. Если правильная дробь, т.е. m < n, то представляем ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

3. Интегрируем многочлен и полученную сумму простейших правильных дробей.

Пример. Найти .

, т.е. , .

Выделим целую часть этой неправильной дроби путем деления числителя на знаменатель:

Получим

, , , .

Разложим на простейшие дроби:

Þ

, т.е.

.

Отсюда следует, что

.

Находим , , , . Поэтому

и

.

Интегрируя, получим