Применение дифференциала в приближенных вычислениях

20.

28 Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и нелинейного членов:

где при .

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

На графике функции возьмем произвольную точку и дадим аргументу приращение . При этом функция получит приращение (на рисунке отрезок ). Проведем касательную к кривой в точке и обозначим угол ее наклона к оси через , тогда . Из треугольника находим , т.е. . Таким образом, дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда аргумент получает приращение .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Приращение функции представимо в виде: где функция является б.м. функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как , то В силу того, что второе слагаемое является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому тА так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике. Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

31 Комплексным числом

Комплексным числом z называется выражение вида z=х+iу, где х и у — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица,i²=-1.Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если у=0, то число х+i0=х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. e. RÌС.Число х называетсядействительнойчастьюкомплексного числа z и обозначается х=Re z, а у — мнимой частью z, у = Im z.Два комплексных числа z₁=x₁+iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называются равными (z₁=z₂) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х₁=х₂, y₁=у₂. В частности, комплексное число z=х+iy равно нулю тогда и только тогда, когда х=у=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.Два комплексных числа z=х+iy и z=х-iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

32 Комплексные числа в алгебраической…

Действия над комплексными числами можно производить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.Операции над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что , и т. д. Суммой двух комплексных чисел называется число такое, что справедливы равенства , , т. е. .

Обозначение: .Правило сложения. При сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.

Пример Найти сумму чисел и , где , Решение. .

Разностью комплексных чисел называется число такое, что справедливы равенства , , т.е. .

Обозначение: . Правило вычитания. При нахождении разности комплексных чисел из действительной и мнимой частей уменьшаемого вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого.

33 Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью Комплексному числу будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка : (рис. 2). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой - мнимая.