русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Интегрирование рациональных функций


Дата добавления: 2015-09-15; просмотров: 683; Нарушение авторских прав


Из высшей алгебры известно, что всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. двух многочленов

 
 


 

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени полинома знаменателя.(m<n)

Рациональная дробь называется неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя (m³n)

 

Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

 
 


 

 

 
 


Здесь M(x)- многочлен, правильная дробь

 

Так как интегрирование многочленов проводится непосредственно и не вызывает затруднений, то в дальнейшем все наши рассуждения относительно интегрирования рациональных функций будут относится к правильным рациональным дробям.

Правильные дроби вида:

 
 


I.

 

 
 


II.

 

       
 
   
 


III. ( не имеет действительных корней)

 

Называются простейшими дробями.

 

Интегрирование простейших дробей I, II, III типов нами уже было рассмотрено ранее.

 

Теорема

Если знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители:

,то дробь

 

может быть представлена в виде суммы простейших дробей

             
 
 
   
 
 
 
   

 

 


Для определения коэффициентов применяют метод неопределенных коэффициентов. Сущность метода состоит в следущем:

В правой части разложения простейшие дроби приводим к общему знаменателю, которым является многочлен P(x),



после чего знаменатель P(x) в левой и правой частях равенства отбрасываем. Получаем тождество, в левой части которого стоит многочлен F(x) , а в правой многочлен содержащий неопределенные коэффициенты

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему уравнений относительно искомых коэффициентов

Например:

 
 

Найти интеграл

 

Подынтегральная дробь неправильная. Поэтому надо сначала выделить целую часть. Для этого поделим многочлен на многочлен и данную дробь представим в виде суммы многочлена и правильной дроби:

Напишем разложение

 

 

 

 


Приводим к общему знаменателю, и отбросив его, получаем

 

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему

 

 


Отсюда A= -1, B=1

Окончательно имеем

 

Следовательно

 

Пример 2

 
 

 


Напишем разложение:

 
 


Приводим его к общему знаменателю и отбросив его, получаем


 
 

 


Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему

 

A+C=1

2A+B+4C+D=6

4A+4C+4D=8

8A+4B+4D=8

 

Отсюда A=0, B=1, C=1, D=1

Тогда интеграл принимает вид



 

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен | Интегрирование некоторых иррациональных выражений.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.004 сек.