Из высшей алгебры известно, что всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. двух многочленов
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени полинома знаменателя.(m<n)
Рациональная дробь называется неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя (m³n)
Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Здесь M(x)- многочлен, правильная дробь
Так как интегрирование многочленов проводится непосредственно и не вызывает затруднений, то в дальнейшем все наши рассуждения относительно интегрирования рациональных функций будут относится к правильным рациональным дробям.
Правильные дроби вида:
I.
II.
III. ( не имеет действительных корней)
Называются простейшими дробями.
Интегрирование простейших дробей I, II, III типов нами уже было рассмотрено ранее.
Теорема
Если знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители:
,то дробь
может быть представлена в виде суммы простейших дробей
Для определения коэффициентов применяют метод неопределенных коэффициентов. Сущность метода состоит в следущем:
В правой части разложения простейшие дроби приводим к общему знаменателю, которым является многочлен P(x),
после чего знаменатель P(x) в левой и правой частях равенства отбрасываем. Получаем тождество, в левой части которого стоит многочлен F(x) , а в правой многочлен содержащий неопределенные коэффициенты
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему уравнений относительно искомых коэффициентов
Например:
Найти интеграл
Подынтегральная дробь неправильная. Поэтому надо сначала выделить целую часть. Для этого поделим многочлен на многочлен и данную дробь представим в виде суммы многочлена и правильной дроби:
Напишем разложение
Приводим к общему знаменателю, и отбросив его, получаем
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему
Отсюда A= -1, B=1
Окончательно имеем
Следовательно
Пример 2
Напишем разложение:
Приводим его к общему знаменателю и отбросив его, получаем
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему