Предназначено для студентов всех специальностей.

Российский заочный институт

Текстильной и лёгкой промышленности

Кафедра математики и физики

М А Т Е М А Т И К А

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ТЕМА12.

Методические указания к решению задач

По дисциплинам «Высшая математика», «Математика в экономике»

Для студентов всех специальностей

Москва 2010

Составители ОксакА.И., Ровенская О. С.

Дифференциальые уравнения, тема12.Методические указания к решению задач по дисциплинам «Высшая математика», «Математика в экономике».

М. 2011. 13с.

Предназначено для студентов всех специальностей.

1. Общиепонятия.

Для описания различных явлений в природе, науке, технике используется понятие функции. Тем не менее не всегда возможно установить характер зависимости одного явления от другого, т.е. функции одной переменной величины, у, от независимой переменной х (другими словами, функция y(x) может быть неизвестна). Если известна зависимость между величинами x, y и производными от y по x: y^/, y^//,…, y⁽ⁿ⁾, то можно записать уравнение, связывающее эти величины.

Дифференциальным уравнением (сокращенно ДУ) называется равенство, содержащее независимую переменную, например, x (которая считается «известной»), неизвестную функцию у= y(x) (которую нужно «найти») и одну или несколько ее производных y^/, y^//,…, y⁽ⁿ⁾. Общий вид ДУ таков :

. (1)

Мы рассматриваем случаи, когда неизвестная функция зависит только от одной переменной. Такие ДУ называется обыкновенными. В общем случае неизвестная функция может зависеть от нескольких переменных; тогда ДУ содержит частные производные этой функции по независимым переменным и называется уравнением в частных производных.

Порядком ДУ называется порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в уравнение. Решением, или частным интегралом ДУ называется всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая его в тождество. График решении называется интегральной кривой.

Пример 1. y^/ = x - x².

Решение. Это ДУ первого порядка; y(x) – первообразная для x - x² .

Ответ : (С – произвольная постоянная).

Как видно из этого примера, ДУ может иметь много решений. Придавая произвольной постоянной C различные числовые значения, мы получим различные так называемые частные решения уравнения.

Решение у= y(х,С₁,…,С_n) ДУ называется общим, если оно содержит столько произвольных постоянных C₁,C₂,…,C_n, каков порядок ДУ, причем различным значениям C₁,C₂,…,C_n соответствуют различные решения ДУ.

ДУ (1), разрешенное относительно старшей производной y⁽ⁿ⁾, имеет нормальную форму

y⁽ⁿ⁾ = . (2)

Как правило, нужное в конкретной задаче частное решение характеризуется своими начальными условиями. Для дифференциальных уравнений первого порядка задание начального условия сводится к указанию начального значения у₀ ≡y(x₀) неизвестной функции в некоторой начальной точке х =х ₀. Для дифференциального уравнения второго порядка начальные условия требуют задания значения у₀≡у(х₀) искомой функции и ее производной y^/₀ ≡ y^/(х₀) в начальной точке х=х₀.Числа у₀ и y^/₀ называются начальными значениями. В общем случае начальные условия должны содержать столько начальных значений, каков порядок дифференциального уравнения, т.е. каково число произвольных постоянных в общем решении.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения по начальным условию называется задачей Коши. Доказано, что если правая часть уравнения (2) и ее частные производные по всем переменным (кроме х)

непрерывны, то существует единственное решение задачи Коши на некотором интервале значений х, содержащем точку х₀. Это утверждение называется теоремой существования и единственности.

Подставляя начальное значение в общее решение y(х,С) ДУ первого порядка, получаем обыкновенное (недифференциальное ) уравнение для С :

y(х₀,С)=у₀,

из которого определяем то значение С = с произвольной постоянной С, которая доставляет требуемое решение у =y(х,с) задачи Коши.

Пример 2. Рассмотрим падение тела в пустоте. у(х)- координата тела

в любой момент времени х ; g – ускорение свободного падения; v(х) – скорость движения. Так как у^/(х) = v(х), a v^/(х) = - g, то у^//(х) = - g , т.е. закон движения тела записывается дифференциальным уравнением второго порядка: . (Перед­ g стоит знак минус, потому что сила тяжести направлена в сторону, противоположную направлению оси Оy.) Найти общее решение, а также решение задачи Коши при начальных условиях у(0)=2, v(0)=0.

Решение. v(х) – первообразная для -g, у(х) - первообразная для v(х). По определению пишем:

.

у(х)–общее решение дифференциального уравнения. Если v(0)=0 и у(0)=2, то С₁=0, и С₂=2, и частное решение будет имеет вид

Имеется сравнительно немного классов дифференциальных уравнений,

которые решаются в явном виде. Для каждого такого класса существуют свой метод решений. Практически любое дифференциальное уравнение можно решить на ЭВМ численно. В связи с развитием вычислительной техники численные методы приобретают всё большее значение.

2.Дифференциальные уравнения первого порядка.

Общий вид ДУ первого порядка: F(x ,y, y^/)=0. Если это уравнение разрешить относительно производной, то получится, так называемый

нормальный вид дифференциального уравнения первого порядка:

y^/ = f(x, y). (3)

Учитывая формулу Лейбница , это уравнение записывается как уравнение в дифференциалах

dy = f(x, y)dx. (4)

Рассмотрим методы решения важнейших классов дифференциальных уравнений первого порядка, «интегрируемых» в явном виде.

2.1. Класс простейших дифференциальных уравнений.

y^/ = f(x).

Метод решения. y есть первообразная от известной функции f(x); она находится интегрированием этой функции:

.

Общее решение имеет вид у =F(х) +С, где F(х) – частное решение, С – произвольная постоянная. Если F(х) определена на интервале (а,b), то все интегральные кривые на интервале (а,b) в этом классе ДУ получаются из

одной кривой сдвигом вдоль оси Oy.

Пример 3. y^/ = sin2x.

Решение: .

2.2. Класс уравнений с разделяющимися переменными.

ДУ первого порядка

(5)

или, в дифференциалах, M(x, y)dx =N(x ,y)dу

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции M(x,y) и N(x,y) разлагаютсяна множители, зависящие каждый только от одной переменной:

M(x,y)= f₁(x)g₁(y)и N(x,y)= f₂(x)g₂(y).

Тогда уравнение в дифференциальной записи принимает вид:

f₁(x)g₁(y)dx= f₂(x)g₂(y)dy ,

или после разделения переменных:

. (6)

Метод решения. Проинтегрируем обе части уравнения (6):

В ответе должна фигурировать только одна произвольная постоянная С

(как при интегрировании суммы или разности функций).

Пример 4. Решить уравнение ydx – xdy = 0.

Решение. Делим обе части уравнения на xy , получаем

или . Интегрируем обе части уравнения: ,

ln y = ln x +C₁. Для удобства выберем произвольную постоянную С₁ в виде

С₁ = ln С, где С – новая произвольная постоянная. Имеем: ln y = ln x +ln C,

откуда согласно свойствам логарифмов ln у =ln хС.

Ответ: у =Сх.

Пример 5. Пусть у – количество химически чистого радиоактивного вещества в некотором сосуде. С течением времени х количество радиоактивного вещества у = у(х) уменьшается в соответствии с ДУ

у^/ = - λ ·у,

где коэффициент λ – константа радиоактивного распада, различная для разных веществ. Требуется найти зависимость у от времени х (она называется законом радиоактивного распада).

Решение. Перепишем данное ДУ в дифференциалах: dy=- λ ·y ·dx.

Разделяем переменные: и интегрируем обе части уравнения:

, так что ln y= - λ ·х +С, откуда находим общее решение ДУ

у=е^{С - λх}=е^С ·е ^{- λx}. Обозначим начальное количество вещества как у₀ = у(0). Подставив х=0 в общее решение, найдем е^С = у₀ .

Ответ: у = у₀·е ^{-λ x} .

2.3. Класс однородных дифференциальных уравнений.

ДУ первого порядка y^/=f(x,y) называются однородными, если его правую часть можно представить как функцию только от отношения переменных у и х: . Имеем ДУ вида

. (7)

Метод решения. Заменим неизвестную функцию y новой неизвестной функцией u по формуле y=ux, получим:

, и уравнение (7) примет вид

Это уравнение с разделяющимися переменными:

, .

Интегрируя, найдём

Пример 6. (x+y)dx + xdy=0.

Решение. Разделим обе части уравнения на x, получим: Имеем ДУ в нормальной форме типа (7): y^/ = - Заменим y на uх, получим u ^/ + u =-(1+ u) или u ^/ =-(1+2u) . Это уравнение с разделяющимися переменными: , которое можно проинтегрировать: . Обозначим 2С₁ = lnC. По свойствам логарифмов имеем , или . Отсюда находим: 1+2u =Cx^-2.

Ответ: u= .

2.4.Класс линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение линейное (т.е. первой степени) относительно неизвестной функции и её производной:

a(x) y^/+b(x) y=f(x) ,(8)

где a(x), b(x)и c(x)- заданные функции от x (в частности, они могут быть постоянными числами).

Метод решения линейного ДУ.

Для решения уравнения искомую функцию y будем искать в виде произведения двух множителей:

y=uv. (9)

Одну из этих функций u удобно выбрать как (ненулевое) частное решение уравнения (8) с нулевой правой частью:

а(х) . (10)

(Такое ДУ называется линейным однородным.) Другая функция v определится из уравнения (8).

Разделяя переменные в уравнении (10), получим: ; интегрируя, находим ln u = -F(x) +C₁, где F(x) - первообразная для . Так как достаточно иметь какое-либо отличное от нуля решение уравнения (10), то можно положить С₁=0. В результате: u=e ^-F(x) .

Подставим (9) в уравнение (8):

а(х) uv^/ +а(х) u^/v+b(x)uv=f(x), или а(х) uv^/ +[а(х )u^/ +b(x)u]v=f(x).

Мы специально выбрали u с помощью уравнения (10), так чтобы в последнем уравнении выражение в квадратных скобках обнулилось.

Получаем для v простейшее ДУ: а(х)u(х) v^/ =f(x) , v^/ = , откуда находим v=

Общее решение ДУ (8): у = u(х)· .

Подведем итог. Общее решение ДУ (8) ищем в виде y=uv, где u – (ненулевое) частное решение линейного однородного ДУ

a(x) u^/ + b(x) u=0,

а v – общее решение простейшего ДУ

a(x) u(х) v^/ =f(x).

Пример 7. xy^/+y=3.

Решение. Ищем решение в виде y=uv, где u - (ненулевое) частное решение линейного однородного ДУ

, (11)

а v – общее решение простейшего ДУ

х u(х) v^/ = 3. (12)

Разделяя переменные в уравнении (11), получим , которое после интегрирования и отбрасывания произвольной постоянной примет вид ln u = - ln x, ln u=x^-1, u=x^-1. Подставляем u=x^-1 в уравнение (12), получаем:

х x^-1v^/ =3, или v^/ =3 , общее решение которого есть v= = 3x+C.

Ответ: y=x^-1(3x+C) =3+ С x^-1 .

3.Дифференциальные уравнения второго порядка.

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка :

стандартный вид:

Рассмотрим важнейшие классы таких уравнений. Основной метод решения - это понижение порядка дифференциального уравнения, т.е. сведение его к уравнению (или уравнениям) первого порядка. Для этого делается общая замена

y^/ = р,

где p≡p(x) – новая неизвестная функция от x.

3.1. Класс простейших дифференциальных уравнений

3.3. Класс уравнений, не содержащих x.

Метод решения. Заменяем y^/= =p, Далее p считаем сложной функцией: р=р(у(х)). Тогда , и уравнение принимает вид: p =f (y,p).Это ДУ первого порядка .Находим р как функцию от у : p=p(y). Это еще одно ДУ первого порядка: =p(у).Решаем его методом разделения переменных:

Пример 10: .

Решение. , , ln p=lny+lnC, p=Cy, ,

ln y=C₁ x+lnC₂.

Ответ: y=C₂· .