Неопределённый интеграл

Определение. - первообразная для - функция, если = .

Множество всех первообразных + С называется неопределённым интегралом и обозначается

= + С, С - любая константа.

Свойства неопределённых интегралов:

1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰

Таблица неопределённых интегралов

1.	7.
2.	8.
3. 3а.	9.
4.	10.
5.	11.
6.

Основные приёмы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование .

2. Метод подстановки, замена переменной, или подведение под знак дифференциала.

3. Интегрирование по частям.

4. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен.

5. Интегрирование дробно-рациональных функций (простейших дробей).

6. Интегрирование тригонометрических функций.

7. Интегрирование иррациональных функций.

1.Непосредственное интегрирование - используют таблицу и свойства интегралов.

Примеры.

= = + С

2. Метод подстановки, замена переменной, или подведение под знак дифференциала.

- не табличный - = = = = - (табличный)

Примеры.

1) = = =

2) = = =

3) = = = + С

4) = = = - +С = -

3.Интегрирование по частям

4.

- не табличный, его можно привести к табличному, если представить dx = udv, где uи v - некоторые функции. Тогда

- Формула интегрирования по частям.

Интеграл может оказаться табличным или легко сводящимся к табличному.

Рекомендации по выбору функций u и v :

1) Если под знаком интеграла есть функции lnx, arcsin(bx), arctg(bx) и их степени, то их выбирают в качестве u, а то, что осталось, - за dv.

2) Если подынтегральная функция имеет вид , cosxdx, , то в качестве функции u выбирают и «n» раз интегрируют по частям.

3) Если подынтегральная функция имеет вид , , , , то дважды интегрируют по частям, принимая за uфункции sinx или cosx.

Примеры.

1) = { } = = = =

= +C;

2) = { } = = - +5 = - + + C;

3) = { } = = = { ; du=dx;v= } = - [- + ] = + - + C;

4) = { ;} = = - = [ ] = -2[- + ] = Обозначим J = Тогда полученное выше можно представить так:

J = + 2 - 4 J; Отсюда 5 J = + 2 ; J = [ + 2 ] + C;

5.Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен.

Интегралы вида , вычисляют, выделяя полный квадрат: . Переходя к новой переменной , получим табличные интегралы 8) – 11) (см. таблицу).

Примеры.

1) = { } =

= -7 = - = - + C = - = - + C = - +C¹; (C¹ = C- ln2)

2) = { = = ; } = =

= + = + = + + C = +

₊ + C;

5. Интегрирование дробно-рациональных функций (простейших дробей).

Дробно-рациональную функцию = можно представить в виде суммы так называемых простейших дробей

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Интегралы от них берутся известным нам способом:

1) = + C; 2) = { } ₊

3) - интеграл, содержащий квадратный трёхчлен, рассмотренный в предыдущем пункте.

4) путём замены переменной приводят к интегралу , вычислить который можно с использованием реккурентной формулы:

Примеры.

1) . Разложим дробно-рациональную функцию на простейшие дроби:

= + + +

Найдём неопределённые коэффициенты, приведя правую часть к общему знаменателю и сравнивая числители левой и правой части.

= + B(x-1)(x+2)² + C(x-1)(x+2) + D(x-1)

= x³ (A +B) + x² ( 6A +3B +C) + x (12A +C+D) + (8A -4B –2C-D)

Сравнивая коэффициенты перед одинаковыми степенями х в левой и правой части равенства, получим систему уравнений для нахождения

A, B, C, D:

A+B = 0

6A+3B+C= 3

12A+C+D=5

8A-4B-2C-D = 19

Решая систему, найдём: A =1, B=-1, C=0, D = -7.

Таким образом, исходный интеграл свёлся к трём интегралам:

= - - = + С = + +С.

2) =

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

= +

Приведём к общему знаменателю, сравним коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получим систему уравнений:

6х = A(x² -2x +4) + (x+2)(Cx+D) = x²(A+C) +x(-2A+2C+D) +(4A+2D)

A+C = 0

-2A+2C+D = 6

4A+2D = 0

Отсюда A=-3, C = 3, D = 6

Cледовательно,

= + = -3 + = -3 + = -3 + + = -3 + + +C

6. Интегрирование тригонометрических функций.

а) Если подынтегральная функция R(sinx,cosx) нечётна относительно sinx, т.е. R(-sinx,cosx) = - R(sinx,cosx), то используют подстановку cosx = t

b) Если подынтегральная функция R(sinx,cosx) нечётна относительно cosx, т.е. R(sinx,-cosx) = - R(sinx,cosx), то используют подстановку sinx = t

c) Если подынтегральная функция R(sinx,cosx) чётна относительно sinx и сosx одновременно, т.е. R(-sinx, -cosx) = = R(sinx,cosx), то используют подстановку tg x = t. Тогда x= arctg t, dx = , sin²x = , cos²x =

d) В общем случае используют универсальную тригонометрическую подстановку . Тогда x= 2arctg t, dx = , sinx = , cosx =

=

e) В некоторых случаях интеграл сводится к табличным, если применить тригонометрические преобразования.

Примеры.

1) = { подынтегральная функция нечётна относительно sin x, подстановка cos x = t} = = = + =

= - + C = - + C

2) = { функция чётна одновременно относительно sinx и cos x; подстановка tg x = t} = = =

= + C = + C

3) = { функция общего вида; используем универсальную тригонометрическую подстановку } = =

= = = + C = + c

7. Интегрирование иррациональных функций

Используют замену переменной, избавляясь от корней

Примеры.

= { Под знаком интеграла корни 3-ей и 2-ой степени: , . Общий знаменатель дробей - 6. Можно избавиться от корней, если выполнить замену , t = .

Тогда х = = ; }.

Следовательно, = = = = + = +С= + 6 + C = + 6 + + C

При интегрировании квадратичных иррациональностей используют тригонометрические подстановки.

Для интегралов вида используют замену .Тогда ; dx=acost dt.

Для интегралов вида используют замену .Тогда = ; dx =

Для интегралов вида используют замену .Тогда ; dx = .

Примеры.

1) = {Замена x=2sint, t = arcsin , dx = 2cost dt, 2cost} = = = = -ctgt – t – C =

= C – ctg(arcsin ) - arcsin .

2) = {Замена x = dx = - ; = } = = = cost + C =

= + C = + C

3) = { Замена x=3tg t; t = arctg ; dx = ; } = = =

=