Метод Гаусса

Рассмотренные методы применимы только для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными, имеющих невырожденную матрицу коэффициентов. Универсальным методом решения систем является метод Гаусса, который основан на приведении расширенной матрицы системы с помощью элементарных преобразований к трапецевидной форме.

Если матрицу системы дополнить столбцом свободных членов, то она будет называться расширенной.

Метод Гаусса рассмотрим на примере решения системы:

Составляем расширенную матрицу системы . Элемент (если , то на первое место мы поставим уравнение, в котором коэффициент при ). принимаем за разрешающий. Выполняем шаг гауссовского исключения: разрешающую строку переписываем без изменения, в разрешающем столбце все коэффициенты ниже разрешающего заменяем нулями. Остальные элементы пересчитываем по правилу прямоугольника.

Преобразовав таким образом все уравнения системы, придем к системе, эквивалентной данной. Этим завершается первый шаг гауссовского преобразования, результатом которого стало исключение х из всех уравнений, начиная со второго. Коэффициент при переменной, которую исключаем, называем разрешающим.

Во втором шаге исключений разрешающим является элемент . Первые две строки переписываем без изменений, коэффициенты, находящиеся ниже разрешающего обращаются в нули, остальные – пересчитываем по правилу прямоугольника.

По последней матрице записываем систему уравнений, равносильную данной

Из последнего уравнения находим z=1, подставляя найденное значение во второе уравнение, вычисляем y=-1 и из первого уравнения х=2. Итак, - единственное решение данной системы.