Раскрытие неопределённостей.

Более сложные случаи при решении задач на пределы - если подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым как . Нахождение предела в этом случае называется раскрытием неопределённости. Рассмотрим элементарные приёмы раскрытия неопределённостей.

1. Неопределённость . а). Дробно-рациональные функции. В этом случае в числителе и знаменателе выделяется множитель (х-а) и и рассматривается выражение, получаемое после сокращения на этот множитель. Пример: .

б). Дробно-иррациональные функции (.f(х) зависит от выражений вида ). Множитель (х-а) в этом случае выделяется применением формул сокращённого умножения: и т.д.

в). Пределы от функций, в которых участвуют тригонометрические выражения, обычно сводятся к первому замечательному пределу:

2. Неопределённость формально легко сводится к неопределённости : пусть f(x)®¥, g(x)®0 при х®а. Тогда и получена неопределённость (представление даст неопределённость , см. ниже). Однако часто можно обойтись более простыми преобразованиями: 3. Неопределённость также легко сводится к неопределённости : пусть f(x)®¥, g(x)®¥ при х®а. Тогда и получена неопределённость . И здесь обычно обходятся более простыми преобразованиями, например, делением числителя и знаменателя на максимальную степень х (приём, применённый также в примере 7 раздела 4.5.2. Выделение главной части функции): , так как при х®+¥, при х®¥ ( теор.4.4.7о произведении БМ на ограниченную функцию).

4. Неопределённость ¥-¥ также можно свести к предыдущим случаям: если f(x)®¥, g(x)®¥ при х®а, то . Дробь даёт неопределённость . Если , получаем неопределённость , в других случаях неопределённость отсутствует. И здесь часто поступают по другому. Пример: . Чтобы избавиться от иррациональностей, перейдём к переменной у, связанной с х соотношением . При х®1 и у®1, поэтому

5. Показательно-степенные неопределённости сводятся к неопределённости следующим образом: (убедитесь, что во всех трёх случаях в показателе экспоненты получится неопределённость ). Однако неопределённости ("типа е") часто сводят непосредственно ко второму замечательному пределу: пример 1.

Пример 2.

Здесь мы заменили БМ на эквивалентную у²/2 (ф.2 табл.экв.и теор. 2 о замене БМ на эквивалентные).

Несколько примеров на представление функции в виде :

3. : (пользуемся непрерывностью функции ). Рассмотрим предел, находящийся в показателе степени:

Возвращаемся к исходному пределу

4. . Предел, находящийся в показателе степени:

(пример 4 раздела 4.5.1). Окончательно: .

5.

. Предел в показателе степени:

. Рассмотрим эти пределы по отдельности. Второй после замены , у ®+0 при х ®p/2-0, опять сводится к примеру 4 раздела 4.5.1и равен нулю. Первый представляет собой неопределённость , раскроем её:

Ответ:

6. Как уже говорилось, выделение главной части функции в совокупности с теор. 2 о замене БМ и ББ на эквивалентные - наиболее мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Пример: выделив главные части числителя и знаменателя, найти

. Решение: ~ = x, ~ ~ ~ ~3x, поэтому

Примеры с использованием полученных здесь в разделе 2 главных частей:

(примеры 1 и 3);

(примеры 2 и 4) и т.д.