Для любых векторов 
, 
и 
справедливо:
1) При перестановке местами двух множителей смешанное произведение меняет знак:
, 
, 
2) При циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется:
.
3) Если 
, 
, 
, то
.
4) 
, и компланарны, т.е. лежат в одной плоскости.
5) Абсолютная величина смешанного произведения векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
Объем пирамиды, построенный на тех же векторах в 6 раз меньше:
Таким образом, скалярное произведение используют для нахождения длин и углов, векторное произведение – для вычисления площадей, а смешанное – для нахождения объемов.
Пример 6.(Образец выполнения задачи 4 из контрольной работы). Даны вершины пирамиды: 
, 
, 
и 
Найти:
a) длину ребра 
;
b) угол между ребрами 
и 
;
c) площадь грани 
;
d) объем пирамиды.
Решение.
a) Найдем вектор 
, а затем его норму. Это и будет длина ребра . 
, 
b) Угол между ребрами и будем находить как угол между векторами 
и 
(рис. 3), используя формулу:
.
.
Следовательно, 
c) 
, 
,
, 
.
d) Возьмем три вектора, на которых построена пирамида, например, 
, 
и 
, и найдем их смешанное произведение:
Значит, 
n
