Методические указания

Вариант задания выбирается по последней цифре зачетной книжки.

Например, если последняя цифра -0, то вариант 10, надо выполнить задания 1.10, 2.10 и тд., если 5- то 1.5, 2.5, и тд.

1.Заданы координаты вершин треугольника АВС. Найти а) его периметр,

б) уравнения сторон (с проверкой), в) построить треугольник в системе координат 0ХУ.

1.1 А(2,3) В(4,5) С(-1,2). 1.6. А(1,4) В(3,2) С(-3,4)

1.2. А(0,3) В(4,0) С(-1,-5) 1.7. А(5,3) В(3,5 ) С(-1,-1)

1.3. А(5,1) В(1,5) С(2,2) 1.8. А(4,4) В(2,2) С(-5,7)

1.4. А(0,5) В(6,1) С(-5,-6) 1.9. А(5,3) В(7,2) С1,1)

1.5. А(7,2) В(4,9) С-3,-3) 1.10. А(5,3) В(2,7) С-1,-1)

2. Вычислить определители двумя способами

2.1. . 2.6 .

2 2. . 2.7 .

2.3 . . 2.8 .

2.4 . 2.9 .

2.5 . 2.10 .

3. Определить ранг матрицы:

3.1. 3.6.

3.2 3.7

3.3. 3.8

3.4 3.9

3.5. 3.10

4. Решить систему двумя способами ( с проверкой)

4.1 4.6

4.2 4.7

4.3 4.8.

4.4 . 4.9.

4.5. 4.10.

Методические указания

Номера разобранных примеров соответствуют номерам задач контрольного задания.

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

К этому разделу относятся задачи 1-4 контрольной работы.

Пример 1. Заданы координаты вершин А(1.1). В(2.7), С(3,5) треугольника АВС.

Найти: а) его периметр б) уравнения сторон (с проверкой) в) построить треугольник в системе координат ОХУ

Решение. а) Периметр треугольника – это сумма длин его сторон. Длина стороны – это расстояние между двумя точками плоскости:

АВ = =

ВС=

АС=

Р= АВ+ВС+АС= + +2 = +3

б) Уравнение сторон – это уравнение прямых, проходящих через две точки:

уравнение прямой АВ:

= , 6x-y-5=0

Проверка: подставим в подчеркнутое уравнение координаты точек А и В

2 2+7-11=0 (верно) 2 3+5-11=0 (верно)

Уравнения остальных сторон треугольника получим аналогично.

в) строим треугольник по координатам его вершин

Пример 2. Вычислить определитель двумя способами.

Решение.1 способ. Используем правило Саррюса

(1 2 1 + (-1) 3 (-1)+ 1 2 0) – ( (-1) 2 0 + 1 (-1) 1 + 2 3 1) = 2+ 3 + 1 – 6 =0

2 способ. Используем разложение определителя по элементам первой строки

1 - (-1) + 0 =(2-6) + (1+3) =0

Пример 3. Определить ранг матрицы

Решение. Будем находить ранг матрицы приведением ее к ступенчатому виду методом элементарных преобразований

Ранг матрицы А равен числу ненулевых строк в матрице ступенчатого вида

Ответ: r(A)=2

Пример 4. Решить систему линейных уравнений с проверкой методом Крамера и методом Гаусса.

Решение. 1 способ. Формулы Крамера имеют вид

х = , х = , х = , где

0 - главный определитель системы ( определитель матрицы коэффициентов при неизвестных), ( i=1,2,3) – определитель, полученный из главного, заменой i столбца столбцом свободных членов.

= =-14, = =-28, = =0, = =14

х =2, х =0, х =-1.

2 способ. Универсальным методом решения систем является метод Гаусса

( метод исключения неизвестных). Для его реализации расширенную матрицу системы приводят к ступенчатому виду

А =

Последняя матрица соответствует системе, равносильной исходной

,откуда х =2, х =0, х =-1.

Проверка: подставляем полученные значения переменных в левую часть исходной системы:

2-3=-1 (верно), 4-1=3 ( верно) , 6+2=8 ( верно).

Ответ: х =2, х =0, х =-1