Исходные данные к задаче (Данные межотраслевого баланса).

Цель лабораторной работы.

Изучение количественных методов матричного анализа, направленных на решение задач экономики и управления. Экономическая интерпретация математических понятий.

Имеются данные баланса двух отраслей промышленности. Требуется:

1. исходя из численных значений, составить таблицу баланса;

2. оценить продуктивность и запас продуктивности матрицы прямых затрат;

3. вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли увеличится в l раз, а второй отрасли на m процентов;

4. оценить изменение валового выпуска по сравнению с исходными величинами.

Требования к оформлению. Лабораторная работа оформляется в любом исполнении (рукописном, компьютерном). Работа должна содержать все необходимые пояснения и выводы. Формулы должны содержать расшифровку принятых обозначений. Страницы должны быть пронумерованы.

Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в списке группы.

Пример выполнения задачи.

1. Данные баланса двух отраслей промышленности за некоторый период представлены в таблице баланса:

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск

2. Оценим продуктивность матрицы прямых затрат.

Составим матрицу прямых затрат: , где - коэффициенты прямых затрат.

, , , .

Значит, - матрица прямых затрат.

Так как все элементы матрицы А неотрицательны и сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

max(0,272; 0,15; 0,13; 0,292) = 0,292 < 1,

то по второму критерию продуктивности матрица прямых затрат продуктивна.

Чтобы оценить запас продуктивности, найдем и оценим λ в предположении, что матрица λА продуктивна.

Для этого последовательно определяем:

- ,

Для продуктивности последней матрицы необходимо, чтобы все ее элементы были неотрицательны, что возможно при выполнении следующих условий:

Решаем последовательно каждое неравенство:

1) –0,0016 λ²- 0,18λ + 1 > 0, 0,0016 λ²+ 0,18λ – 1< 0. 0,0016 λ²+ 0,18λ – 1= 0 D = 0,18² + 4·0,0016 = 0,0388 λ₁ ≈ -117,8, λ₂ ≈ 5,3.	2) 1 – 0,1λ ≥ 0 λ ≤ -1/(-0,1) λ ≤ 10
3) 1 – 0,08λ ≥ 0 λ ≤ -1/(-0,08) λ ≤ 12,5

Окончательно получаем:

, откуда –117,8<λ<5,3.

Таким образом, согласно определению запаса продуктивности, матрица А продуктивна при 1<λ<5,3, т.е. запас продуктивности α = 4,3 – значителен.

3. Найдем новый вектор конечного продукта при увеличении конечного продукта первой отрасли в l = 2,4 раз, а второй отрасли – на m = 20%.

4. Задача межотраслевого баланса формулируется следующим образом: «Найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 547,2 и 252 усл. ед.»

Новый вектор валового выпуска найдем по формуле:

Последовательно находим:

Найдем определитель матрицы (Е-А):

Составим присоединенную матрицу :

транспонировав, получим:

Матрицу найдем по формуле: .

Тогда, - новый вектор валового выпуска.

5. Таким образом, валовый выпуск первой отрасли должен возрасти с 300 усл.ед. до 659,88 усл.ед., т.е. на 359,88 усл.ед. (приблизительно на 120%), Валовый выпуск второй отрасли должен возрасти с 250 усл.ед. до 315,072 усл.ед., т.е. на 65,072 усл.ед. (приблизительно на 26%).

Исходные данные к задаче (Данные межотраслевого баланса).

№ варианта	Значения переменных
x₁₁	x₁₂	x₂₁	x₂₂	y₁	y₂	x₁	x₂	l	m
									3,1
									2,9
									2,3
									2,1
									2,5
									1,7
									2,2
									0,5
									2,4
									1,2
									0,6
									3,7
									2,5
									2,1
									2,6
									1,5
									3,2
									2,2
									1,8
									1,2
									2,4
									1,5
									1,7
									0,5
									2,4
									1,2
									1,3
									1,5
									1,6
									0,8
									3,1
									2,9
									2,3
									2,1
									2,5
									1,7
									2,2
									0,5
									2,4
									1,2

Литература

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Кремер Н. Ш. и др. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 2000. — 471 с.

2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов/ Кремер Н. Ш. и др. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 423 с.

3. Афонина Т.Н. Приложение элементов линейной алгебры к задачам экономики и управления — Орел: Изд-во ОРАГС, 2001. — 88 с.