Теорема. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам:
Х1= , X2 = ,…, xn= , где
D – определитель системы
Dn – определитель, который получается из определителя системы путем замены только n-го столбца столбцом свободных коэффициентов системы.
Рассматривают различные случаи:
1. Система является совместной и определённой, если её определитель D≠0.
2. Система является совместной, но неопределённой, если все её определители равны нулю:
D = D1 = D2 =…= Dn = 0
3.Система несовместна, если только определитель системы D=0
Пример.
Решите систему по формулам Крамера
Решение:
Определитель системы вычислим по правилу треугольников
D= = 42+36+2-(-21+36-4) = 69 ≠ 0
D1, D2, D3 вычислим по формуле Лапласа.
D1= = (определитель разложим по первому столбцу)
=19 ∙ - 30 ∙ - 1 ∙ = 19∙(42+4)-30∙(18-1)-1∙(12+7) = 19∙46-30∙17-19 = 345
D2 = = (разложим по второму столбцу)
= -19 ∙ +30 ∙ +1·∙ = -19∙(12-12)+30∙(6+3)+(4+2) = 30·9+6 = 276
D3= = (разложим по третьему столбцу)
= 19 ∙ - 30 ∙ -1 ∙ = 19∙23)-30∙10)-1·1 = -138
Тогда
х1= =5
х2= =4
х3= = -2
Ответ: (5; 4; -2).