Действия над матрицами

Суммаматриц определена для 2-х одноименных матриц.

Суммой 2-хматриц одинакового размера и В=(вij) называется матрица С= , где .

При этом пишут С=А+В

Аналогично определяется разность матриц, А - В.

Пример.

Найти А + В, если А= , В=

Решение:

А + В=С

Ответ: С=

Произведением матрицы на число R называется новая матрица ∙А определяемая формулой или

=

Пример.

Найти А∙ , если

Решение:

Ответ: С=

Операция сложения матриц и умножение матрицы на число обладают следующими свойствами:

А, В, С – матрицы, α и β – числа.

1. А+В=В+А 5. 1·А=А

2. А+(В+С)=(А+В)+С 6. α·(А+В)= αА+ αВ

3. А+О=А 7. (α+β)·А= αА+ βА

4. А-А=0 8. α·(βА)=( αβ)·А,

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Такие матрицы называются согласованными (n m и m k).

Произведением 2-х согласованных матриц и называется матрица размера n k, элементы которой вычисляются по формуле:

C =a ∙b +a ∙b +….+a b +…..+a ∙b

Таким образом, элементом новой матрицы является , который равен сумме произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы.

Возможно умножение матрицы на вектор-столбец справа и на вектор-строку слева.

Примеры.

1. Найти произведение А∙В матриц, если

А=

Решение:

С=А∙В

Ответ: С=

2. Найти произведение А∙В матриц, если

А=

В=

Решение:

(9 2 3) ∙ = (9∙3+2∙(-4)+3∙1; 9∙2+2∙0+3∙7; 9∙1+2∙5+3∙2;

9∙4+2∙6+3∙1=(22 29 25 51)

Ответ: С=(22 29 25 51)

3. Найти произведение А∙В матриц, если

Решение:

С=А∙В

∙ = =

Ответ: С=

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А × О = О 4. α (АВ) = (αА) В = А × (αВ)

2. А × Е = А 5. АВС = (АВ) С = А (ВС)

3. А × В ≠ В А 6. А × (В + С) = АВ + АС,