Экзамен будет проходить по билетам в письменной форме. Примерно за 2-3 часа каждому студенту будет предложено решить по несколько задач, аналогичных тем, что включены в варианты контрольной работы. Во время своего ответа студент должен подробно обосновать преподавателю этапы решения задач, опираясь при этом на изученные теоретические положения курса.
Ниже приводится список теоретических вопросов для самостоятельного изучения в семестре, знание которых необходимо для успешного решения задач контрольной работы и сдачи экзамена :
Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравнений.
Определитель и элементарные преобразования. Построение определителя разложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление определителя разложением по строке.
Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Простейшие свойства линейно зависимых векторов. Базис и координаты векторов. Существование базиса конечномерного пространства. Размерность линейного пространства.
Сумма матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Матричная запись системы уравнений. Свойства арифметических операций над матрицами. Обратная матрица и формулы Крамера. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Преобразование координат при замене базиса.
Ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц. Определитель произведения матриц.
Векторная запись системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных.
Список литературы для самостоятельной работы.
Приводимый ниже перечень содержит рекомендуемые учебники, однако можно пользоваться и любыми другими книгами, если только они содержат необходимые вопросы в нужном объёме.
1. Мальцев А.И. основы линейной алгебры. – СПб: Лань, 2010.
2. Беклемишев Д.В., Беклемишев Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебры. – СПб: лань, 2010.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под редакцией проф. В.И. Ермакова – Москва Инфра-М, 2002.
4. Высшая математика для экономистов. Под редакцией проф. Н.Ш. Кремера. – Москва Юнити, 2002.
Варианты контрольных заданий.
Вариант № 0
(1) Вычислить матрицу:
а. ,
б. ,
если
.
(2) Вычислить определители матриц если
(3) Вычислить определитель матрицы
а. Разложением по первой строке.
б. Разложением по первому столбцу.
(4) Решить систему линейных уравнений :
а. Методом Гаусса,
б. Методом Крамера,
в. Методом обратной матрицы.
(5) Найти общее решение системы линейных уравнений:
Вариант № 1
(1) Вычислить матрицу:
а. ,
б. ,
если
.
(2) Вычислить определители матриц если
(3) Вычислить определитель матрицы
а. Разложением по первой строке.
б. Разложением по первому столбцу.
(4) Решить систему линейных уравнений :
а. Методом Гаусса,
б. Методом Крамера,
в. Методом обратной матрицы.
(5) Найти общее решение системы линейных уравнений:
Вариант № 2
(1) Вычислить матрицу:
а. ,
б. ,
если
.
(2) Вычислить определители матриц если
(3) Вычислить определитель матрицы
а. Разложением по первой строке.
б. Разложением по первому столбцу.
(4) Решить систему линейных уравнений :
а. Методом Гаусса,
б. Методом Крамера,
в. Методом обратной матрицы.
(5) Найти общее решение системы линейных уравнений:
Вариант № 3
(1) Вычислить матрицу:
а. ,
б. ,
если .
(2) Вычислить определители матриц если
(3) Вычислить определитель матрицы
а. Разложением по первой строке.
б. Разложением по первому столбцу.
(4) Решить систему линейных уравнений :
а. Методом Гаусса,
б. Методом Крамера,
в. Методом обратной матрицы.
(5) Найти общее решение системы линейных уравнений:
Вариант № 4
(1) Вычислить матрицу:
а. ,
б. ,
если .
(2) Вычислить определители матриц если
(3) Вычислить определитель матрицы
а. Разложением по первой строке.
б. Разложением по первому столбцу.
(4) Решить систему линейных уравнений :
а. Методом Гаусса,
б. Методом Крамера,
в. Методом обратной матрицы.
(5) Найти общее решение системы линейных уравнений:
Вариант № 5
(1) Вычислить матрицу:
а. ,
б. ,
если .
(2) Вычислить определители матриц если
(3) Вычислить определитель матрицы
а. Разложением по первой строке.
б. Разложением по первому столбцу.
(4) Решить систему линейных уравнений :
а. Методом Гаусса,
б. Методом Крамера,
в. Методом обратной матрицы.
(5) Найти общее решение системы линейных уравнений:
Вариант № 6
(1) Вычислить матрицу:
а. ,
б. ,
если
.
(2) Вычислить определители матриц если
(3) Вычислить определитель матрицы
а. Разложением по первой строке.
б. Разложением по первому столбцу.
(4) Решить систему линейных уравнений :
а. Методом Гаусса,
б. Методом Крамера,
в. Методом обратной матрицы.
(5) Найти общее решение системы линейных уравнений:
Вариант № 7
(1) Вычислить матрицу:
а. ,
б. ,
если .
(2) Вычислить определители матриц если
(3) Вычислить определитель матрицы
а. Разложением по первой строке.
б. Разложением по первому столбцу.
(4) Решить систему линейных уравнений :
а. Методом Гаусса,
б. Методом Крамера,
в. Методом обратной матрицы.
(5) Найти общее решение системы линейных уравнений:
Вариант № 8
(1) Вычислить матрицу:
а. ,
б. ,
если .
(2) Вычислить определители матриц если
(3) Вычислить определитель матрицы
а. Разложением по первой строке.
б. Разложением по первому столбцу.
(4) Решить систему линейных уравнений :
а. Методом Гаусса,
б. Методом Крамера,
в. Методом обратной матрицы.
(5) Найти общее решение системы линейных уравнений:
Вариант № 9
(1) Вычислить матрицу:
а. ,
б. ,
если
.
(2) Вычислить определители матриц если
(3) Вычислить определитель матрицы
а. Разложением по первой строке.
б. Разложением по первому столбцу.
(4) Решить систему линейных уравнений :
а. Методом Гаусса,
б. Методом Крамера,
в. Методом обратной матрицы.
(5) Найти общее решение системы линейных уравнений:
,
,
.
если
.
.
.
.
.
.
.
.
.
