Модуль 2. Функции нескольких переменных

Лекция 9. Метрика и окрестности в . Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества в . Граница множества. Понятие области в . Скалярная функция нескольких переменных (ФНП) как отображение ( ). Линии и поверхности уровня. Предел ФНП. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве. Свойства ФНП, непрерывных на множестве (без док-ва).

ОЛ-2, гл. 1, § 1.1–1.7; ОЛ-4, гл. 8, § 1–4; ОЛ-5, гл. 8, § 1–3, 11, 12.

Лекция 10. Частные производные ФНП, геометрическая интерпретация для п = 2. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Матрица Гессе. Дифференцируемость ФНП. Необходимые условия и достаточное условие дифференцируемости.

ОЛ-2, гл. 2, § 2.1–2.6, гл. 3, § 3.1, 3.2; ОЛ-4, гл. 8, § 5, 6; ОЛ-5, гл. 8, § 4, 5.

Лекция 11. Полный дифференциал ФНП. Необходимые и достаточные условия того, что выражение является полным дифференциалом (необходимость с доказательством). Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Применение дифференциала ФНП к приближенным вычислениям. Производная сложной функции. Частная и полная производные ФНП. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

ОЛ-2, гл. 2, § 2.7, ОЛ-4, гл. 8, § 7–10; ОЛ-5, гл. 8, § 6–9.

Лекция 12. Неявные функции. Теорема о существовании (без док-ва) и дифференцируемости неявной ФНП. Производная ФНП по направлению и градиент, их свойства.

ОЛ-2, гл. 2, § 2.7, гл. 3, § 3.5, гл. 4, § 4.1–4.3; ОЛ-4, гл. 8, §10, 11; ОЛ-5, гл. 8, § 9, 15.

Лекция 13. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, условия их существования и вывод уравнений. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Формула Тейлора для ФНП (без док-ва).

ОЛ-2, гл. 5, § 5.1–5.4, гл. 3, § 3.4; ОЛ-4, гл. 8, §14, 15, 17; ОЛ-5, гл. 8, § 7, 8, 13–16.

Лекции 14-15. Экстремум ФНП. Необходимое условие существования экстремума. Достаточные условия экстремума (формулировка с помощью матрицы Гессе, без док-ва). Условный экстремум ФНП, его геометрическая интерпретация (при ), функция Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума (вывод для ). Достаточные условия (без док-ва). Нахождение наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой ФНП на замкнутом ограниченном множестве.

ОЛ-2, гл. 6, § 6.1–6.4, гл. 7, § 7.1–7.4; ОЛ-4, гл. 8, § 18; ОЛ-5, гл. 8, § 19.

Лекция 16. Векторная ФНП (ВФНП) как отображение ( ). Координатные функции ВФНП. Геометрическая интерпретация для n, m = 2, 3. Предел ВФНП. Непрерывность ВФНП. Матрица Якоби ВФНП, якобиан (при ). Дифференцируемость ВФНП, ее дифференциал. Производная сложной ВФНП в матричной форме.

ОЛ-2, гл. 1, § 1.2–1.4, гл. 2, § 2.3, 2.6, 2.7; ДЛ -2, гл. 5, § 41, пп. 41.4–41.7.

Лекция 17. Обзорная.