Рассмотрим линейное пространство V, в котором уже есть 2 операции (сложение и умножение). В этом пространстве введем еще одну операцию. Она будет удовлетворять следующим аксиомам.
1.
2.
3.
4.
Указанная операция называется скалярным произведением векторов. N – мерное линейное пространство с введенной операцией скалярного произведения, называется
Евклидовым пространством.
Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата.
Длина вектора удовлетворяет следующим условиям:
1. , если
2.
3. - неравенство Коши-Буня
4. - неравенство треугольника
13.Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.
1.
2.
3.
4.
14. Векторное произведение векторов и его свойства.
Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:
1. Перпендикулярен векторам и .
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на
векторах и
, где
3. Векторы, и образуют правую тройку векторов.
Свойства векторного произведения векторов:
1.
2.
3.
4.
15. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанное произведение записывают в виде: .
Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.
Свойства.
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:
2. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.
3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.
4. Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.
Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения равен нулю.
16. Линейные преобразования пространства. Матрица линейного преобразования. Связь между координатами образа и прообраза.
Рассмотрим линейное пространство V, в котором каждому элементу x, в силу
некоторого закона поставлен элемент этого же пространства.
- прообраз
- образ
Каждому прообразу соответствует единственный образ.
Каждый образ имеет единственный прообраз.
Линейное преобразование пространства, при котором существует
Взаимно однозначные соответствия.
Блективное преобразование – называется линейным, если выполняются 2 условия.
1.
2.
Рассмотрим n-мерное линейное пространство
Для того, чтобы задать линейные преобразования в этом пространстве достаточно
задать это преобразование для базисных векторов.
Матрица линейного преобразования.
Пусть F – линейное преобразование линейного пространства, переводящая базис
в базис . Т.к. - базис, то верны соотношения
А – является матрицей линейного преобразования или линейным оператором