Сложение, вычитание или умножение двоичных чисел выполняются так же, как и в арифметике десятичных чисел. Микропроцессоры владеют командами сложения и вычитания двоичных чисел, выполняют команды умножения и деления.
На рис. 3.1, а представлены простые правила двоичного сложения. Два первых (слева) правила очевидны, третье показывает, что 1+1 ==10, т.е. наиболее значимая 1 переносится в ближайший старший разряд. Четвертое правило, наконец, показывает, что 1+1+1 ==11. В этом случае первое, второе слагаемые и запоминаемое в результате сложения в младшем разряде число—все 1. Результатом является сумма—1 с переносом 1.
Сложим двоичные числа 0011 1011 и 0010 1010 (операция показана на рис. 3.1, б). Для большей ясности действия с десятичными эквивалентами обрабатываемых чисел показаны на рисунке справа. Суммой двух чисел 0011 1011 и 0010 1010 будет 0110 01012.
На рис. 3.2,а приведены правила двоичного вычитания. Первые три аналогичны десятичному вычитанию. Последнее требует заема из более значимого предшествующего разряда (в этом случае вес 2). Уменьшаемым является двоичное число 10, вычитаемым 1, разностью— 1.
Вычтем двоичное число 0011 1001 из 0101 0101. Этот пример приведен на рис. 3.2,б. Разряды весов 1, 2 и 4 этого двоичного вычитания просты для выполнения и относятся к первым трем правилам на рис. 5.2,а. В колонке веса 8 имеет место вычитание 1 из О. Тогда 1 занимается из колонки веса 16. Единица вычитается из 102, что дает разность 1 согласно четвертому правилу на рис. 3.2, а. После этого заема в колонке веса 16 имеет место вычитание 1 из нового вычитаемого 0. Согласно четвертому правилу 1 должна быть занята из следующей, более значимой позиции (колонка веса 32), но в колонке 32 имеем 0; поэтому колонка 32 должна сделать заем из колонки веса 64, что и выполнено. Окончательно колонка 16 делает заем из колонки 32, уменьшаемым в колонке 16 становится 102, вычитаемым 1, разностью 1.
В колонке 32 имеем 1—1==0, в колонке 64 — 0—0==0, в колонке 128 — 0—0==0. Таким образом, рис. 5.2, б иллюстрирует операцию вычитания ОО11 lOOl2 из 0101 OlOl2 (справа эта задача решена в десятичной записи).
Приведем правила десятичного умножения:
Два первых правила не требуют никаких пояснений. В двух следующих множителем является 1: когда множителем является 1 при двоичном умножении, множимое становится результатом и представляет собой произведение. Когда множитель 0, произведение всегда 0.
Выполним умножение 1101 на 101. Как и в случае умножения десятичных чисел, множимое сначала умножается на число, стоящее в младшем разряде (в рассматриваемом случае—бит В колонке веса 1).
Поскольку бит множителя в разряде веса 1 является 1, множимое копируется и составляет первое частичное произведение. Вторым битом множителя является 0, тогда второе частичное произведение есть 0000 (заметим, что оно сдвинуто на одну позицию влево). Битом разряда веса 4 множителя является 1, тогда для получения третьего частичного произведения снова следует копирование множимого (заметим, что копирование завершается новым сдвигом на одну позицию влево). После этого выполняем сложение трех частичных произведений, что дает результат 100 00012. Полученный результат 11012Х1012=100 00012 соответствует произведению десятичных чисел 1310X510==6510.
3.3 Дополнительный код.
Сама ЭВМ обрабатывает информацию обычно в двоичном коде. Однако если нужно использовать числа со знаком, используется специальный дополнительный код, что упрощает аппаратные средства ЭВМ.
На рис. 3.3,а приведено обычное изображение регистра МП или ячейки памяти вне МП.
Такой регистр представляют пространством из 8 бит данных. Позиции бит пронумерованы от 7 до 0, а веса двоичных позиций указаны в основании регистра, бит 7 имеет вес 128, бит 6—64 и т.д.
На рис. 3.3, б и 3.3,в показаны типовые структуры 8-разрядных регистров для размещения чисел со знаком. В обоих случаях бит 7 является знаковым. Он указывает, является ли число положительным (+) или отрицательным (—). При 0 в знаковом бите число положительно, при 1 — отрицательно.
Если, как показано на рис. 3.3, б, число положительно, оставшиеся ячейки памяти (6—0) содержат двоичное 7-разрядное число. Например, если регистр на рис. 3.3,б содержит 0100 0001, это соответствует числу +6510 (64+1, знаковый бит положителен). Если в него записано 0111 1111, содержимым будет +12710 (знаковый бит положителен: +64+32+16+8+4+2+1), что является наибольшим положительным числом: которое может содержать 7-разрядный регистр.
Если, как это показано на рис. 3.3, в, регистр содержит то же число со знаком, но отрицательное, он будет содержать дополнительный код этого числа. В табл. 3.2 приведена запись в дополнительном коде положительных и отрицательных чисел. Заметим, что все положительные числа имеют 0 в старшем бите, остальные биты составляют двоичное число. Все отрицательные числа имеют 1 в старшем разряде. Рассмотрим строку +0 в табл. 3.2: запись в дополнительном коде +0 будет 0000 0000. В ближайшей нижней строке видим, что запись в дополнительном коде—1 следующая: 1111 1111.
Рассмотрим пошаговое перемещение в обратном направлении от 0000 0000 до 1111 1111. Какой будет запись в дополнительном коде числа —9? Рассмотрим этапы преобразования. Они следующие:
Полученный результат является дополнительным кодом положительного десятичного числа. В приведенном примере дополнительным кодом числа 9 является 1111 0111. Заметим, что знаковый бит —1, это означает, что рассматриваемое число (1111 0111) отрицательно.
Каким будет десятичный эквивалент числа 1111 0000, записанного в форме дополнительного кода? Процедура преобразований в этом случае следующая:
Таким образом, формирование обратного кода и добавление 1 являются теми же процедурами, которые мы проводили при преобразовании двоичного числа в дополнительный код. Однако следует отметить, что, хотя мы получили двоичное число 0001 0000== 1610, исходная запись дополнительного кода 11110000=-16, т.е. имеем отрицательное число, поскольку старший бит в дополнительном коде является 1.
