Локальная формула Муавра-Лапласа

При большом числе n независимых повторных испытаний непосредственное вычисление вероятности по формуле Бернулли становится громоздким. В этом случае для вычисления вероятности применяются приближенные формулы, которые следуют из теоремы Пуассона, локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа.

Формула Пуассона приведена в лекциях Н. М. Она используется тогда, когда число испытаний n достаточно велико, а вероятность р наступления события А в отдельном испытании мала ( ). Формула Пуассона дает хорошее приближение при .

Если условия и не выполняются, то для вычисления вероятности используется локальная формула Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А наступит m раз в n независимых повторных испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна

, (1)

где и .

Чем больше n, тем точнее приближенная формула (1), называемая локальной формулой Муавра-Лапласа.

Для упрощения расчетов составлена таблица значений функции . При использовании таблицы необходимо учесть:

1) функция является четной, т.е. ;

2) функция при монотонно убывает, причем при (практически можно считать, что при ).

Пример. Стрелок попадает в цель в среднем 8 раз из 10. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок попадет в цель 75 раз?

Решение. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна , тогда вероятность промаха . Число испытаний . Сначала определим . По таблице значений функции имеем: . По формуле (1) получим

.